Образующая конуса составляет с плоскостью основания угол 60 градусов и равна 6 корней из 3 см. Найдите...

Для нахождения объема конуса необходимо использовать формулу объема $V$, которая выражается через радиус основания $r$ и высоту $h$ конуса:

$V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$

Нам даны:

1. Образующая конуса $l$, которая составляет с плоскостью основания угол 60 градусов.
2. Длина образующей $l=6\sqrt{3}\text{см}$.

Образующая $l$ является гипотенузой прямоугольного треугольника, в котором высота $h$ и радиус основания $r$ являются катетами. Из условия известно, что угол между образующей и плоскостью основания равен 60 градусов.

Используем тригонометрические функции для нахождения $r$ и $h$:

1. Сначала найдем высоту $h$ конуса. Поскольку угол между образующей и плоскостью основания составляет 60 градусов, то:

$\cos {60}^{\circ }=\frac{h}{l}$

Так как $\cos {60}^{\circ }=\frac{1}{2}$:

$\frac{1}{2}=\frac{h}{6\sqrt{3}}$

Решим это уравнение для $h$:

$h=6\sqrt{3}\cdot \frac{1}{2}=3\sqrt{3}\text{см}$

1. Теперь найдем радиус основания $r$. Для этого используем соотношение:

$\sin {60}^{\circ }=\frac{r}{l}$

Поскольку $\sin {60}^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$:

$\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{r}{6\sqrt{3}}$

Решим это уравнение для $r$:

$r=6\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=6\cdot \frac{3}{2}=9\text{см}$

Теперь у нас есть все необходимые значения для нахождения объема конуса:

• Радиус основания $r=9\text{см}$
• Высота $h=3\sqrt{3}\text{см}$

Используем формулу объема конуса:

$V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$

Подставим значения:

$V=\frac{1}{3}\pi (9{)}^2(3\sqrt{3})$

Вычислим:

$V=\frac{1}{3}\pi \cdot 81\cdot 3\sqrt{3}=\frac{1}{3}\pi \cdot 243\sqrt{3}=81\pi \sqrt{3}{\text{см}}^3$

Таким образом, объем конуса составляет $81\pi \sqrt{3}{\text{см}}^3$.

Для нахождения объема конуса необходимо знать формулу объема конуса, которая выглядит следующим образом: V = $1/3$ π r^2 * h, где r - радиус основания конуса, h - высота конуса.

Так как у нас дана лишь длина образующей и угол между образующей и плоскостью основания, то для начала найдем радиус основания конуса. По теореме косинусов в прямоугольном треугольнике, где гипотенуза - образующая, катет - радиус основания, и угол между ними 60 градусов, получаем следующее: r = 6√3 sin$60°$ = 6√3 $\surd 3/2$ = 9 см.

Затем найдем высоту конуса используя тот же треугольник: h = 6√3 cos$60°$ = 6√3 $1/2$ = 3√3 см.

Теперь, подставив найденные значения радиуса и высоты в формулу объема конуса, получим: V = $1/3$ π 9^2 * 3√3 = 81√3π см^3.

Итак, объем конуса равен 81√3π кубическим сантиметрам.