Образующая конуса составляет с плоскостью основания угол 60 градусов и равна 6 корней из 3 см. Найдите...

Для нахождения объема конуса необходимо использовать формулу объема ( V ), которая выражается через радиус основания ( r ) и высоту ( h ) конуса:

[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h ]

Нам даны:

1. Образующая конуса ( l ), которая составляет с плоскостью основания угол 60 градусов.
2. Длина образующей ( l = 6\sqrt{3} \, \text{см} ).

Образующая ( l ) является гипотенузой прямоугольного треугольника, в котором высота ( h ) и радиус основания ( r ) являются катетами. Из условия известно, что угол между образующей и плоскостью основания равен 60 градусов.

Используем тригонометрические функции для нахождения ( r ) и ( h ):

1. Сначала найдем высоту ( h ) конуса. Поскольку угол между образующей и плоскостью основания составляет 60 градусов, то:

[ \cos 60^\circ = \frac{h}{l} ]

Так как ( \cos 60^\circ = \frac{1}{2} ):

[ \frac{1}{2} = \frac{h}{6\sqrt{3}} ]

Решим это уравнение для ( h ):

[ h = 6\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = 3\sqrt{3} \, \text{см} ]

1. Теперь найдем радиус основания ( r ). Для этого используем соотношение:

[ \sin 60^\circ = \frac{r}{l} ]

Поскольку ( \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} ):

[ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{r}{6\sqrt{3}} ]

Решим это уравнение для ( r ):

[ r = 6\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6 \cdot \frac{3}{2} = 9 \, \text{см} ]

Теперь у нас есть все необходимые значения для нахождения объема конуса:

• Радиус основания ( r = 9 \, \text{см} )
• Высота ( h = 3\sqrt{3} \, \text{см} )

Используем формулу объема конуса:

[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h ]

Подставим значения:

[ V = \frac{1}{3} \pi (9)^2 (3\sqrt{3}) ]

Вычислим:

[ V = \frac{1}{3} \pi \cdot 81 \cdot 3\sqrt{3} = \frac{1}{3} \pi \cdot 243\sqrt{3} = 81\pi\sqrt{3} \, \text{см}^3 ]

Таким образом, объем конуса составляет ( 81\pi\sqrt{3} \, \text{см}^3 ).

Для нахождения объема конуса необходимо знать формулу объема конуса, которая выглядит следующим образом: V = (1/3) π r^2 * h, где r - радиус основания конуса, h - высота конуса.

Так как у нас дана лишь длина образующей и угол между образующей и плоскостью основания, то для начала найдем радиус основания конуса. По теореме косинусов в прямоугольном треугольнике, где гипотенуза - образующая, катет - радиус основания, и угол между ними 60 градусов, получаем следующее: r = 6√3 sin(60°) = 6√3 (√3/2) = 9 см.

Затем найдем высоту конуса используя тот же треугольник: h = 6√3 cos(60°) = 6√3 (1/2) = 3√3 см.

Теперь, подставив найденные значения радиуса и высоты в формулу объема конуса, получим: V = (1/3) π 9^2 * 3√3 = 81√3π см^3.

Итак, объем конуса равен 81√3π кубическим сантиметрам.