№1.Записать в виде обыкновенной дроби бесконечную десятичную дробь: 1)    0,(6);       2) -0,(8);...

1) 2/3; 2) -4/5; 3) 31/18; 4) -3 3/11; 5) 1/9; 6) -2 41/121; 7) 62/249; 8) 2407/1999; 9) 271/2500.

Для преобразования бесконечных десятичных дробей в обыкновенные дроби, используем метод уравнений. Рассмотрим каждый случай отдельно.

1. 0,(6)

Обозначим ( x = 0,(6) ). Тогда: [ x = 0.6666\ldots ]

Умножим обе стороны на 10: [ 10x = 6.6666\ldots ]

Теперь вычтем из этого уравнения исходное: [ 10x - x = 6.6666\ldots - 0.6666\ldots ] [ 9x = 6 ] [ x = \frac{6}{9} = \frac{2}{3} ]

Таким образом, ( 0,(6) = \frac{2}{3} ).

1. -0,(8)

Обозначим ( x = -0,(8) ). Тогда: [ x = -0.8888\ldots ]

Умножим обе стороны на 10: [ 10x = -8.8888\ldots ]

Теперь вычтем из этого уравнения исходное: [ 10x - x = -8.8888\ldots - (-0.8888\ldots) ] [ 9x = -8 ] [ x = \frac{-8}{9} ]

Таким образом, ( -0,(8) = \frac{-8}{9} ).

1. 1,(55)

Обозначим ( x = 1,(55) ). Тогда: [ x = 1.5555\ldots ]

Умножим обе стороны на 100: [ 100x = 155.5555\ldots ]

Теперь вычтем из этого уравнения исходное: [ 100x - x = 155.5555\ldots - 1.5555\ldots ] [ 99x = 154 ] [ x = \frac{154}{99} ]

При сокращении: [ x = \frac{154}{99} = \frac{14}{9} ]

Таким образом, ( 1,(55) = \frac{14}{9} ).

1. -3,(27)

Обозначим ( x = -3,(27) ). Тогда: [ x = -3.272727\ldots ]

Умножим обе стороны на 100: [ 100x = -327.272727\ldots ]

Теперь вычтем из этого уравнения исходное: [ 100x - x = -327.272727\ldots - (-3.272727\ldots) ] [ 99x = -324 ] [ x = \frac{-324}{99} ]

При сокращении: [ x = \frac{-324}{99} = \frac{-108}{33} = \frac{-36}{11} ]

Таким образом, ( -3,(27) = \frac{-36}{11} ).

1. 0,1(2)

Обозначим ( x = 0,1(2) ). Тогда: [ x = 0.12222\ldots ]

Умножим обе стороны на 10: [ 10x = 1.2222\ldots ]

Умножим обе стороны на 100: [ 100x = 12.2222\ldots ]

Теперь вычтем из этого уравнения (это нужно, чтобы избавиться от повторяющейся части): [ 100x - 10x = 12.2222\ldots - 1.2222\ldots ] [ 90x = 11 ] [ x = \frac{11}{90} ]

Таким образом, ( 0,1(2) = \frac{11}{90} ).

1. -2,3(82)

Обозначим ( x = -2,3(82) ). Тогда: [ x = -2.38282828\ldots ]

Умножим обе стороны на 100: [ 100x = -238.282828\ldots ]

Теперь вычтем из этого уравнения исходное: [ 100x - x = -238.282828\ldots - (-2.382828\ldots) ] [ 99x = -235.9 ] [ x = \frac{-235.9}{99} ]

Разделим числитель и знаменатель на 10, чтобы получить: [ x = \frac{-2359}{990} ]

Таким образом, ( -2,3(82) = \frac{-2359}{990} ).

1. 0,(248)

Обозначим ( x = 0,(248) ). Тогда: [ x = 0.248248248\ldots ]

Умножим обе стороны на 1000: [ 1000x = 248.248248\ldots ]

Теперь вычтем из этого уравнения исходное: [ 1000x - x = 248.248248\ldots - 0.248248\ldots ] [ 999x = 248 ] [ x = \frac{248}{999} ]

Таким образом, ( 0,(248) = \frac{248}{999} ).

1. 1,10(209)

Обозначим ( x = 1,10(209) ). Тогда: [ x = 1.10209209209\ldots ]

Умножим обе стороны на 1000: [ 1000x = 1102.092092\ldots ]

Теперь вычтем из этого уравнения исходное: [ 1000x - x = 1102.092092\ldots - 1.102092\ldots ] [ 999x = 1101 ] [ x = \frac{1101}{999} ]

При сокращении: [ x = \frac{1101}{999} = \frac{367}{333} ]

Таким образом, ( 1,10(209) = \frac{367}{333} ).

1. 0,108(32)

Обозначим ( x = 0,108(32) ). Тогда: [ x = 0.108323232\ldots ]

Умножим обе стороны на 100: [ 100x = 10.8323232\ldots ]

Умножим обе стороны на 10000: [ 10000x = 10832.3232\ldots ]

Теперь вычтем из этого уравнения (это нужно, чтобы избавиться от повторяющейся части): [ 10000x - 100x = 10832.3232\ldots - 10.8323232\ldots ] [ 9900x = 10822 ] [ x = \frac{10822}{9900} ]

Таким образом, ( 0,108(32) = \frac{10822}{9900} ).

Таким образом, все бесконечные десятичные дроби записаны в виде обыкновенных дробей.

1) 0,(6) = 6/9 = 2/3

2) -0,(8) = -8/9

3) 1,(55) = 1 + 55/99 = 1 + 5/9 = 14/9

4) -3,(27) = -3 - 27/99 = -3 - 3/11 = -36/11

5) 0,1(2) = 1/10 + 2/90 = 1/10 + 1/45 = 5/18

6) -2,3(82) = -2 - 382/99 = -2 - 4/11 = -26/11

7) 0,(248) = 248/999

8) 1,10(209) = 1 + 10 + 209/999 = 11 + 209/999

9) 0,108(32) = 108/999 + 32/9990 = 12/111 + 32/9990 = 1240/9990