№1. Решите уравнение: а) дробь(х в квадрате черта дроби х в квадрате -9)-вторая дробь(12-х черта дроби...

1. Уравнение: (x^2 / x^2 - 9) - (12 - x / x^2 - 9) = 0 Решение: x = 3, x = -3.

Конечно, давайте разберёмся с уравнением. Прежде всего, запишем его в удобной форме:

[ \frac{x^2}{x^2 - 9} - \frac{12 - x}{x^2 - 9} = 0 ]

Так как обе дроби имеют общий знаменатель (x^2 - 9), мы можем объединить их в одну дробь:

[ \frac{x^2 - (12 - x)}{x^2 - 9} = 0 ]

Упростим числитель:

[ x^2 - 12 + x = x^2 + x - 12 ]

Следовательно, уравнение принимает вид:

[ \frac{x^2 + x - 12}{x^2 - 9} = 0 ]

Для того чтобы дробь была равна нулю, необходимо, чтобы числитель был равен нулю (при этом знаменатель не равен нулю):

[ x^2 + x - 12 = 0 ]

Решим это квадратное уравнение. Для этого можно использовать метод разложения на множители или формулу для корней квадратного уравнения. Попробуем разложить на множители:

Найдём два числа, произведение которых равно (-12) (свободный член), а сумма равна (1) (коэффициент при (x)):

[ (x - 3)(x + 4) = 0 ]

Отсюда получаем два корня:

[ x - 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 3 ]

[ x + 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -4 ]

Теперь проверим, чтобы значения (x = 3) и (x = -4) не обращали знаменатель в ноль:

Знаменатель (x^2 - 9) равен нулю при:

[ x^2 - 9 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 = 9 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 3 ]

Таким образом, (x = 3) является недопустимым значением, так как оно обращает знаменатель в ноль.

Следовательно, единственным решением уравнения является:

[ x = -4 ]

Ответ: ( x = -4 ).

Для решения данного уравнения сначала приведем выражение к общему знаменателю. В данном случае общим знаменателем будет произведение знаменателей первой и второй дробей, то есть (х^2 - 9)(х^2 - 9). После этого выразим числитель каждой дроби и вычитаем одну дробь из другой:

( \frac{x^2}{x^2 - 9} - \frac{12 - x}{x^2 - 9} = \frac{x^2 - (12 - x)}{x^2 - 9} = \frac{x^2 - 12 + x}{x^2 - 9} )

Теперь приведем числитель к виду многочлена:

( x^2 - 12 + x = x^2 + x - 12 )

Таким образом, уравнение примет вид:

( \frac{x^2 + x - 12}{x^2 - 9} )

Далее мы можем факторизовать числитель и знаменатель, чтобы упростить уравнение и найти корни:

( \frac{(x + 4)(x - 3)}{(x + 3)(x - 3)} )

После сокращения общих членов получаем:

( \frac{x + 4}{x + 3} )

Таким образом, корень уравнения равен x = -4.