Незнайка решил узнать все трехзначные числа, у которых сумма цифр в 14 раз меньше самого числа. Помогите...

Чтобы решить эту задачу, давайте обозначим трехзначное число как ( \overline{abc} ), где ( a ), ( b ), и ( c ) — цифры этого числа. Это число можно записать как:

[ 100a + 10b + c ]

По условию задачи, сумма цифр этого числа в 14 раз меньше самого числа. То есть:

[ a + b + c = \frac{1}{14}(100a + 10b + c) ]

Умножим обе стороны уравнения на 14, чтобы избавиться от дроби:

[ 14(a + b + c) = 100a + 10b + c ]

Раскроем скобки в левой части:

[ 14a + 14b + 14c = 100a + 10b + c ]

Теперь перенесем все члены на одну сторону уравнения:

[ 14a + 14b + 14c - 100a - 10b - c = 0 ]

Упростим это уравнение:

[ -86a + 4b + 13c = 0 ]

Разделим все коэффициенты на 4 для упрощения:

[ -21.5a + b + 3.25c = 0 ]

Поскольку ( a ), ( b ), и ( c ) — это цифры, они должны быть целыми числами, и уравнение также должно представлять собой целые числа. Давайте попробуем сделать это более удобно для целых чисел:

[ -86a + 4b + 13c = 0 ]

Теперь нужно подобрать такие значения ( a ), ( b ), и ( c ), чтобы это уравнение выполнялось. Учитывая, что ( a ) — первая цифра трехзначного числа, она не может быть равна 0, и принимает значения от 1 до 9. ( b ) и ( c ) могут быть от 0 до 9.

Попробуем подобрать значения:

1. ( a = 2 ): [ -86 \times 2 + 4b + 13c = 0 \Rightarrow -172 + 4b + 13c = 0 \Rightarrow 4b + 13c = 172 ] Проверим возможные значения ( b ) и ( c ):

   • ( c = 8 ): ( 4b + 13 \times 8 = 172 \Rightarrow 4b + 104 = 172 \Rightarrow 4b = 68 \Rightarrow b = 17 ). Это невозможно, так как ( b ) — цифра.

   • ( c = 9 ): ( 4b + 13 \times 9 = 172 \Rightarrow 4b + 117 = 172 \Rightarrow 4b = 55 ). Невозможно.

2. ( a = 3 ): [ -86 \times 3 + 4b + 13c = 0 \Rightarrow -258 + 4b + 13c = 0 \Rightarrow 4b + 13c = 258 ] Проверим возможные значения ( b ) и ( c ):

   • ( c = 6 ): ( 4b + 13 \times 6 = 258 \Rightarrow 4b + 78 = 258 \Rightarrow 4b = 180 \Rightarrow b = 45 ). Это невозможно.

   • ( c = 7 ): ( 4b + 13 \times 7 = 258 \Rightarrow 4b + 91 = 258 \Rightarrow 4b = 167 ). Невозможно.

   • ( c = 8 ): ( 4b + 13 \times 8 = 258 \Rightarrow 4b + 104 = 258 \Rightarrow 4b = 154 \Rightarrow b = 38.5 ). Невозможно.

   • ( c = 9 ): ( 4b + 13 \times 9 = 258 \Rightarrow 4b + 117 = 258 \Rightarrow 4b = 141 \Rightarrow b = 35.25 ). Невозможно.

Кажется, я допустил ошибку в расчетах. Давайте пересчитаем уравнение.

Правильное уравнение должно быть:

[ 86a = 4b + 13c ]

Попробуем снова с другой стратегией:

1. ( a = 1 ): [ 86 \times 1 = 4b + 13c \Rightarrow 86 = 4b + 13c ] Проверим возможные значения ( b ) и ( c ):

   • ( c = 6 ): ( 4b + 13 \times 6 = 86 \Rightarrow 4b + 78 = 86 \Rightarrow 4b = 8 \Rightarrow b = 2 )

   Получаем число 126. Проверим:

   [ 1 + 2 + 6 = 9, \quad \frac{126}{14} = 9 ]

Таким образом, число 126 подходит.

Теперь проверим, есть ли другие числа, увеличивая ( a ):

Для ( a = 2 ) и далее, аналогичным способом можно проверить, но другие решения не получаются, так как они не удовлетворяют требованиям целых чисел для ( b ) и ( c ).

Таким образом, сумма всех таких чисел — это просто 126, так как других решений нет.

Давайте обозначим искомое трехзначное число как (ABC), где (A), (B), (C) - цифры числа. Тогда по условию задачи получаем уравнение:

(100A + 10B + C = 14(A + B + C))

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

(100A + 10B + C = 14A + 14B + 14C)

Упростим уравнение:

(86A = 4B + 13C)

Так как (A), (B), (C) - цифры числа, то (A) не может быть равно 0, так как число трехзначное. Поэтому (A) может принимать значения от 1 до 9. Подставим значения (A), найдем соответствующие значения (B) и (C), и проверим выполнение условия задачи.

Получаем, что таким образом можно составить числа: 140, 230, 320, 410, 500, 590, 680, 770, 860, 950.

Сумма всех таких чисел равна (140 + 230 + 320 + 410 + 500 + 590 + 680 + 770 + 860 + 950 = 5360).

Ответ: сумма всех трехзначных чисел, у которых сумма цифр в 14 раз меньше самого числа, равна 5360.