не выполняя построения графика функции у=7х^2-4х, найдите ее наибольшее и наименьшее значение
не выполняя построения графика функции у=7х^2-4х, найдите ее наибольшее и наименьшее значение
Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции у=7х^2-4х, необходимо найти вершину параболы, которая является точкой экстремума.
Вершина параболы находится по формуле x = -b/2a, где a=7, b=-4. Подставляя значения в формулу, получаем x = -(-4)/(2*7) = 4/14 ≈ 0.2857.
Теперь найдем значение функции в точке вершины. Подставляя x=0.2857 в у=7х^2-4х, получаем y = 7(0.2857)^2 - 40.2857 ≈ 1.2245.
Таким образом, наибольшее значение функции равно приблизительно 1.2245, а наименьшее значение функции достигается при х=0.2857 и равно примерно 1.2245.
Наибольшее значение функции у=7х^2-4х равно 7/4, наименьшее значение равно -1.
Для нахождения наибольшего и наименьшего значений квадратичной функции ( y = 7x^2 - 4x ) без построения графика можно использовать методы анализа функции, такие как исследование производной.
Найдем критические точки функции, используя первую производную. Дифференцируем функцию:
[ y' = \frac{d}{dx}(7x^2 - 4x) = 14x - 4. ]
Приравниваем производную к нулю чтобы найти критические точки:
[ 14x - 4 = 0 \implies 14x = 4 \implies x = \frac{4}{14} = \frac{2}{7}. ]
Определим, является ли найденная точка минимумом или максимумом. Для этого можно использовать вторую производную или анализировать знаки первой производной до и после точки:
[ y'' = \frac{d^2}{dx^2}(7x^2 - 4x) = 14. ]
Так как вторая производная положительна, ( x = \frac{2}{7} ) является точкой минимума.
Вычислим значение функции в точке минимума:
[ y\left(\frac{2}{7}\right) = 7\left(\frac{2}{7}\right)^2 - 4\left(\frac{2}{7}\right) = 7 \cdot \frac{4}{49} - \frac{8}{7} = \frac{28}{49} - \frac{56}{49} = -\frac{28}{49} = -\frac{4}{7}. ]
Таким образом, наименьшее значение функции на всей числовой прямой равно ( -\frac{4}{7} ) и достигается оно в точке ( x = \frac{2}{7} ).
Наибольшее значение функции в данном случае, поскольку старший коэффициент положительный (7), функция не имеет верхней границы и устремляется к бесконечности при ( x \to \infty ) или ( x \to -\infty ). Таким образом, наибольшее значение функции не существует на всей числовой прямой.
Итак, наименьшее значение функции ( y = 7x^2 - 4x ) равно ( -\frac{4}{7} ), достигается оно при ( x = \frac{2}{7} ), наибольшего значения функция не имеет.
