Написать комплексное число z=-1+i в показательной форме

Конечно, давайте разберемся, как записать комплексное число ( z = -1 + i ) в показательной форме.

Комплексное число можно представить в показательной форме как ( z = re^{i\theta} ), где ( r ) — модуль комплексного числа, а ( \theta ) — его аргумент.

Шаг 1: Найдем модуль ( r ).

Для комплексного числа ( z = a + bi ), модуль ( r ) вычисляется по формуле: [ r = \sqrt{a^2 + b^2} ]

В нашем случае: [ a = -1 ] [ b = 1 ]

Тогда: [ r = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} ]

Шаг 2: Найдем аргумент ( \theta ).

Аргумент ( \theta ) комплексного числа ( z = a + bi ) можно найти с помощью функции арктангенса. Однако, важно учитывать в какой четверти находится комплексное число. Аргумент ( \theta ) — это угол между положительной осью действительных чисел и вектором, соответствующим комплексному числу, в комплексной плоскости.

В нашем случае: [ a = -1 ] [ b = 1 ]

Число ( -1 + i ) находится во второй четверти, где угол ( \theta ) можно найти как: [ \theta = \pi + \arctan\left(\frac{b}{a}\right) ]

Поскольку (\arctan\left(\frac{1}{-1}\right) = \arctan(-1) = -\frac{\pi}{4}), то: [ \theta = \pi + (-\frac{\pi}{4}) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} ]

Шаг 3: Записываем комплексное число в показательной форме.

Теперь, зная ( r ) и ( \theta ): [ r = \sqrt{2} ] [ \theta = \frac{3\pi}{4} ]

Комплексное число ( z = -1 + i ) в показательной форме будет: [ z = \sqrt{2} e^{i \frac{3\pi}{4}} ]

Таким образом, комплексное число ( z = -1 + i ) в показательной форме записывается как ( \sqrt{2} e^{i \frac{3\pi}{4}} ).

Для того чтобы представить комплексное число z=-1+i в показательной форме, нам необходимо представить его в виде z=re^(iθ), где r - модуль комплексного числа, а θ - аргумент комплексного числа.

Сначала найдем модуль числа z: |r| = √((-1)^2 + 1^2) = √(1 + 1) = √2

Затем найдем аргумент числа z: tan(θ) = Im(z) / Re(z) = 1 / (-1) = -1 θ = arctan(-1) ≈ -π/4

Теперь можем записать комплексное число z=-1+i в показательной форме: z = √2 * e^(i(-π/4))

z = √2 e^(i 3π / 4)