Найти значение sin t, cos t, ctg t если: tg t = -5/12, t принадлежит (3П/2; 2П)

Для начала, определим значение sin t, cos t и ctg t с помощью формул тригонометрических функций.

Известно, что tg t = -5/12. Мы также знаем, что t принадлежит интервалу (3П/2; 2П), что означает, что t находится в четвертой четверти, где значение тангенса отрицательно.

Используя тригонометрическое тождество tg t = sin t / cos t, мы можем выразить sin t и cos t через tg t: sin t = tg t cos t = (-5/12) cos t cos t = 1 / sqrt(1 + tg^2 t) = 1 / sqrt(1 + 25/144) = 1 / sqrt(169/144) = 12 / 13

Теперь мы можем найти значение sin t: sin t = (-5/12) * (12/13) = -5 / 13

Также, для нахождения ctg t, мы можем воспользоваться тригонометрическим тождеством ctg t = cos t / sin t: ctg t = cos t / sin t = (12 / 13) / (-5 / 13) = -12 / 5

Итак, значение sin t = -5/13, cos t = 12/13 и ctg t = -12/5.

Чтобы найти значения (\sin t), (\cos t) и (\cot t), когда (\tan t = -\frac{5}{12}) и (t) принадлежит интервалу (\left(\frac{3\pi}{2}, 2\pi\right)), нужно выполнить несколько шагов.

1. Определение квадранта: Углы в интервале (\left(\frac{3\pi}{2}, 2\pi\right)) находятся в IV четверти. В этой четверти, (\sin t) отрицателен, (\cos t) положителен, а (\tan t) и (\cot t) также отрицательны.

2. Использование тождества для тангенса: Воспользуемся тем, что (\tan t = \frac{\sin t}{\cos t}). Нам дано (\tan t = -\frac{5}{12}). Это означает, что если (\sin t = -5y), то (\cos t = 12y) для некоторого положительного числа (y).

3. Использование основного тригонометрического тождества: Напомним, что (\sin^2 t + \cos^2 t = 1). Подставим наши выражения для (\sin t) и (\cos t): [ (-5y)^2 + (12y)^2 = 1 ] Решим это уравнение: [ 25y^2 + 144y^2 = 1 ] [ 169y^2 = 1 ] [ y^2 = \frac{1}{169} ] [ y = \frac{1}{\sqrt{169}} = \frac{1}{13} ]

4. Нахождение (\sin t) и (\cos t): Теперь, подставив (y = \frac{1}{13}), найдем (\sin t) и (\cos t): [ \sin t = -5y = -5 \cdot \frac{1}{13} = -\frac{5}{13} ] [ \cos t = 12y = 12 \cdot \frac{1}{13} = \frac{12}{13} ]

5. Нахождение (\cot t): Вспомним, что (\cot t = \frac{1}{\tan t}). Подставим значение (\tan t): [ \cot t = \frac{1}{-\frac{5}{12}} = -\frac{12}{5} ]

Таким образом, мы нашли значения: [ \sin t = -\frac{5}{13}, \quad \cos t = \frac{12}{13}, \quad \cot t = -\frac{12}{5} ]

Эти значения удовлетворяют всем условиям задачи, и мы можем быть уверены в их правильности.