Найти все принадлежащие отрезку [0; 3П] корни уравнения: 1) sinx=корень из 2/2; 2) sinx=-корень из 3/2

1) Для уравнения sinx = √2/2: Так как sin(π/4) = √2/2, то корень уравнения sinx = √2/2 будет равен x = π/4 + 2πk, где k - целое число, и x = 3π/4 + 2πk, где k также целое число. Так как отрезок [0; 3π] включает в себя значения от 0 до 3π, то корни данного уравнения находятся в промежутке [0; 3π]: x = π/4, x = 3π/4, x = 5π/4, x = 7π/4.

2) Для уравнения sinx = -√3/2: Так как sin(5π/6) = -√3/2, то корень уравнения sinx = -√3/2 будет равен x = 5π/6 + 2πk, где k - целое число, и x = 7π/6 + 2πk, где k также целое число. Так как отрезок [0; 3π] включает в себя значения от 0 до 3π, то корни данного уравнения находятся в промежутке [0; 3π]: x = 5π/6, x = 7π/6, x = 5π/6 + 2π, x = 7π/6 + 2π.

Чтобы найти все корни уравнений ( \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} ) и ( \sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2} ) на отрезке ([0; 3\pi]), рассмотрим каждое уравнение по отдельности.

Решение уравнения ( \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} )

Значение ( \frac{\sqrt{2}}{2} ) для синуса соответствует углам ( \frac{\pi}{4} ) и ( \frac{3\pi}{4} ) в пределах одного периода ( 2\pi ). Таким образом, общие решения для этого уравнения можно записать как: [ x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi ] [ x = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi ] где ( k ) — целое число.

Теперь найдем все корни на отрезке ([0; 3\pi]):

1. ( \frac{\pi}{4} ) — принадлежит отрезку ([0; 3\pi]).
2. ( \frac{3\pi}{4} ) — принадлежит отрезку ([0; 3\pi]).
3. ( \frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{\pi}{4} + \frac{8\pi}{4} = \frac{9\pi}{4} ) — принадлежит отрезку ([0; 3\pi]).
4. ( \frac{3\pi}{4} + 2\pi = \frac{3\pi}{4} + \frac{8\pi}{4} = \frac{11\pi}{4} ) — принадлежит отрезку ([0; 3\pi]).

Таким образом, корни уравнения ( \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} ) на отрезке ([0; 3\pi]): [ x = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{9\pi}{4}, \frac{11\pi}{4} ]

Решение уравнения ( \sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2} )

Значение ( -\frac{\sqrt{3}}{2} ) для синуса соответствует углам ( \frac{4\pi}{3} ) и ( \frac{5\pi}{3} ) в пределах одного периода ( 2\pi ). Таким образом, общие решения для этого уравнения можно записать как: [ x = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi ] [ x = \frac{5\pi}{3} + 2k\pi ] где ( k ) — целое число.

Теперь найдем все корни на отрезке ([0; 3\pi]):

1. ( \frac{4\pi}{3} ) — принадлежит отрезку ([0; 3\pi]).
2. ( \frac{5\pi}{3} ) — принадлежит отрезку ([0; 3\pi]).
3. ( \frac{4\pi}{3} + 2\pi = \frac{4\pi}{3} + \frac{6\pi}{3} = \frac{10\pi}{3} ) — не принадлежит отрезку ([0; 3\pi]).
4. ( \frac{5\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3} + \frac{6\pi}{3} = \frac{11\pi}{3} ) — не принадлежит отрезку ([0; 3\pi]).

Таким образом, корни уравнения ( \sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2} ) на отрезке ([0; 3\pi]): [ x = \frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3} ]

Итог

В результате, все корни уравнений на отрезке ([0; 3\pi]) следующие:

Для уравнения ( \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} ): [ x = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{9\pi}{4}, \frac{11\pi}{4} ]

Для уравнения ( \sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2} ): [ x = \frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3} ]