Найти все принадлежащие отрезку $0;3П$ корни уравнения: 1) sinx=корень из 2/2; 2) sinx=-корень из 3/2

1) Для уравнения sinx = √2/2: Так как sin$\pi /4$ = √2/2, то корень уравнения sinx = √2/2 будет равен x = π/4 + 2πk, где k - целое число, и x = 3π/4 + 2πk, где k также целое число. Так как отрезок $0;3\pi$ включает в себя значения от 0 до 3π, то корни данного уравнения находятся в промежутке $0;3\pi$: x = π/4, x = 3π/4, x = 5π/4, x = 7π/4.

2) Для уравнения sinx = -√3/2: Так как sin$5\pi /6$ = -√3/2, то корень уравнения sinx = -√3/2 будет равен x = 5π/6 + 2πk, где k - целое число, и x = 7π/6 + 2πk, где k также целое число. Так как отрезок $0;3\pi$ включает в себя значения от 0 до 3π, то корни данного уравнения находятся в промежутке $0;3\pi$: x = 5π/6, x = 7π/6, x = 5π/6 + 2π, x = 7π/6 + 2π.

Чтобы найти все корни уравнений $\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ на отрезке $[0;3\pi ]$, рассмотрим каждое уравнение по отдельности.

Решение уравнения $\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}$

Значение $\frac{\sqrt{2}}{2}$ для синуса соответствует углам $\frac{\pi }{4}$ и $\frac{3\pi }{4}$ в пределах одного периода $2\pi$. Таким образом, общие решения для этого уравнения можно записать как: $x=\frac{\pi }{4}+2k\pi$ $x=\frac{3\pi }{4}+2k\pi$ где $k$ — целое число.

Теперь найдем все корни на отрезке $[0;3\pi ]$:

1. $\frac{\pi }{4}$ — принадлежит отрезку $[0;3\pi ]$.
2. $\frac{3\pi }{4}$ — принадлежит отрезку $[0;3\pi ]$.
3. $\frac{\pi }{4}+2\pi =\frac{\pi }{4}+\frac{8\pi }{4}=\frac{9\pi }{4}$ — принадлежит отрезку $[0;3\pi ]$.
4. $\frac{3\pi }{4}+2\pi =\frac{3\pi }{4}+\frac{8\pi }{4}=\frac{11\pi }{4}$ — принадлежит отрезку $[0;3\pi ]$.

Таким образом, корни уравнения $\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}$ на отрезке $[0;3\pi ]$: $x=\frac{\pi }{4},\frac{3\pi }{4},\frac{9\pi }{4},\frac{11\pi }{4}$

Решение уравнения $\sin x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$

Значение $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ для синуса соответствует углам $\frac{4\pi }{3}$ и $\frac{5\pi }{3}$ в пределах одного периода $2\pi$. Таким образом, общие решения для этого уравнения можно записать как: $x=\frac{4\pi }{3}+2k\pi$ $x=\frac{5\pi }{3}+2k\pi$ где $k$ — целое число.

Теперь найдем все корни на отрезке $[0;3\pi ]$:

1. $\frac{4\pi }{3}$ — принадлежит отрезку $[0;3\pi ]$.
2. $\frac{5\pi }{3}$ — принадлежит отрезку $[0;3\pi ]$.
3. $\frac{4\pi }{3}+2\pi =\frac{4\pi }{3}+\frac{6\pi }{3}=\frac{10\pi }{3}$ — не принадлежит отрезку $[0;3\pi ]$.
4. $\frac{5\pi }{3}+2\pi =\frac{5\pi }{3}+\frac{6\pi }{3}=\frac{11\pi }{3}$ — не принадлежит отрезку $[0;3\pi ]$.

Таким образом, корни уравнения $\sin x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ на отрезке $[0;3\pi ]$: $x=\frac{4\pi }{3},\frac{5\pi }{3}$

Итог

В результате, все корни уравнений на отрезке $[0;3\pi ]$ следующие:

Для уравнения $\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}$: $x=\frac{\pi }{4},\frac{3\pi }{4},\frac{9\pi }{4},\frac{11\pi }{4}$

Для уравнения $\sin x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$: $x=\frac{4\pi }{3},\frac{5\pi }{3}$