Найти точку максимума:
y=log2(2+2x-x^2)-2
Найти точку максимума:
y=log2(2+2x-x^2)-2
Для нахождения точки максимума нужно найти производную функции и приравнять её к нулю.
Для нахождения точки максимума данной функции y=log2(2+2x-x^2)-2 необходимо найти производную этой функции по x и приравнять ее к нулю.
y=log2(2+2x-x^2)-2 y'=1/(ln(2))1/(2+2x-x^2)(2-2x) y'=2(1-x)/(ln(2)(2-x)^2)
Теперь приравняем производную к нулю и найдем значение x: 2(1-x)/(ln(2)(2-x)^2)=0 1-x=0 x=1
Теперь найдем значение y в точке x=1: y=log2(2+2*1-1^2)-2 y=log2(3)-2
Итак, точка максимума функции y=log2(2+2x-x^2)-2 равна (1, log2(3)-2).
Для нахождения точек максимума функции ( y = \log_2(2+2x-x^2) - 2 ), нам нужно сначала найти производную функции, затем определить, где производная равна нулю, и проверить, является ли это точкой максимума.
Находим производную функции ( y ):
Пусть ( u = 2+2x-x^2 ). Тогда ( y = \log_2(u) - 2 ).
Найдем производную ( y' ) по формуле производной логарифма и цепного правила: [ y' = \frac{1}{u \ln 2} \cdot u', ] где ( u' ) — производная функции ( u = 2 + 2x - x^2 ). Вычислим ( u' ): [ u' = 2 - 2x. ] Теперь подставим ( u' ) в выражение для ( y' ): [ y' = \frac{2 - 2x}{(2 + 2x - x^2) \ln 2}. ]
Находим критические точки, приравнивая ( y' ) к нулю:
[ 2 - 2x = 0 \Rightarrow x = 1. ]
Исследуем знаки ( y' ) в окрестности критической точки ( x = 1 ):
Подставим в производную значения, большие и меньшие 1:
Так как производная меняет знак с положительного на отрицательный при переходе через точку ( x = 1 ), это указывает на наличие максимума в этой точке.
Проверяем, чтобы значение ( u ) было положительным (так как логарифм определен только для положительных значений):
[ u(1) = 2 + 2 \cdot 1 - 1^2 = 3 > 0. ]
Следовательно, функция ( y = \log_2(2+2x-x^2) - 2 ) имеет точку максимума при ( x = 1 ), и максимальное значение функции в этой точке равно: [ y(1) = \log_2(3) - 2. ]
