Найти точки экстремума функции y=2x ^3-3x^2
Найти точки экстремума функции y=2x ^3-3x^2
Для нахождения точек экстремума функции y=2x^3-3x^2 необходимо найти ее производную и приравнять ее к нулю.
y'=6x^2-6x
Теперь приравниваем производную к нулю и находим точки экстремума:
6x^2-6x=0
6x(x-1)=0
Отсюда получаем два корня: x=0 и x=1.
Чтобы определить характер экстремума, нужно проанализировать знаки производной в окрестностях найденных точек.
При x=0: y''=-6 < 0, следовательно, имеем локальный максимум.
При x=1: y''=6 > 0, следовательно, имеем локальный минимум.
Таким образом, точка экстремума для функции y=2x^3-3x^2 равна (0, 0) - локальный максимум и (1, -1) - локальный минимум.
Чтобы найти точки экстремума функции ( y = 2x^3 - 3x^2 ), необходимо выполнить следующие шаги:
Найти первую производную функции: Первая производная функции ( y ) по переменной ( x ) обозначается как ( y' ) или ( \frac{dy}{dx} ). Она показывает, как изменяется функция при изменении ( x ).
[ y = 2x^3 - 3x^2 ]
Применим правила дифференцирования:
[ y' = \frac{d}{dx}(2x^3) - \frac{d}{dx}(3x^2) ]
Используя правило дифференцирования степенной функции ( \frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1} ), получаем:
[ y' = 6x^2 - 6x ]
Найти критические точки: Критические точки находятся, когда первая производная равна нулю или не существует.
[ 6x^2 - 6x = 0 ]
Решим это уравнение, вынеся общий множитель ( 6x ):
[ 6x(x - 1) = 0 ]
Получим два решения:
[ x = 0 \quad \text{или} \quad x = 1 ]
Эти значения ( x ) являются критическими точками.
Проверить вторую производную: Чтобы определить, являются ли найденные критические точки максимумами, минимумами или точками перегиба, найдем вторую производную функции ( y ), обозначаемую как ( y'' ) или ( \frac{d^2y}{dx^2} ).
[ y' = 6x^2 - 6x ]
Найдем производную от первой производной:
[ y'' = \frac{d}{dx}(6x^2 - 6x) = 12x - 6 ]
Определить характер критических точек: Подставим значения критических точек ( x = 0 ) и ( x = 1 ) в вторую производную.
Для ( x = 0 ):
[ y''(0) = 12 \cdot 0 - 6 = -6 ]
Так как ( y''(0) < 0 ), точка ( x = 0 ) является точкой максимума.
Для ( x = 1 ):
[ y''(1) = 12 \cdot 1 - 6 = 6 ]
Так как ( y''(1) > 0 ), точка ( x = 1 ) является точкой минимума.
Найти значения функции в критических точках: Подставим значения ( x = 0 ) и ( x = 1 ) в исходную функцию ( y = 2x^3 - 3x^2 ).
Для ( x = 0 ):
[ y(0) = 2 \cdot 0^3 - 3 \cdot 0^2 = 0 ]
Точка экстремума: ( (0, 0) ).
Для ( x = 1 ):
[ y(1) = 2 \cdot 1^3 - 3 \cdot 1^2 = 2 - 3 = -1 ]
Точка экстремума: ( (1, -1) ).
Таким образом, функция ( y = 2x^3 - 3x^2 ) имеет следующие точки экстремума:
Для нахождения точек экстремума функции y=2x^3-3x^2 необходимо взять производную и приравнять ее к нулю: y' = 6x^2 - 6x = 0 Получаем два значения x: x = 0 и x = 1. Далее подставляем найденные значения x обратно в исходную функцию, чтобы найти соответствующие значения y: При x = 0: y(0) = 0 При x = 1: y(1) = -1 Таким образом, точки экстремума функции y=2x^3-3x^2: (0, 0) и (1, -1).
