Найти стационарные точки функции f(x)=x^3-2x^2+x+3.

Для нахождения стационарных точек функции ( f(x) = x^3 - 2x^2 + x + 3 ), нам необходимо найти производную функции и приравнять её к нулю. Стационарные точки — это точки, в которых производная функции равна нулю или не существует. Для данной функции производная существует во всех точках, поэтому нас интересуют только те точки, где производная равна нулю.

1. Находим производную функции: [ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 2x^2 + x + 3) = 3x^2 - 4x + 1 ]

2. Приравниваем производную к нулю: [ 3x^2 - 4x + 1 = 0 ]

3. Решаем полученное квадратное уравнение. Для этого используем формулу корней квадратного уравнения: [ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ] где ( a = 3 ), ( b = -4 ), ( c = 1 ). [ x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3} ] [ x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{6} ] [ x = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{6} ] [ x = \frac{4 \pm 2}{6} ] Получаем два решения: [ x_1 = \frac{4 + 2}{6} = 1, \quad x_2 = \frac{4 - 2}{6} = \frac{1}{3} ]

4. Анализ стационарных точек: Теперь у нас есть две стационарные точки: ( x = 1 ) и ( x = \frac{1}{3} ). Чтобы определить, являются ли эти точки точками минимума, максимума или перегиба, можно использовать вторую производную или проанализировать знаки первой производной слева и справа от каждой точки.

5. Находим вторую производную: [ f''(x) = \frac{d}{dx}(3x^2 - 4x + 1) = 6x - 4 ]

6. Подставляем стационарные точки во вторую производную: [ f''(1) = 6 \cdot 1 - 4 = 2 ] (положительно, значит в ( x = 1 ) минимум) [ f''\left(\frac{1}{3}\right) = 6 \cdot \frac{1}{3} - 4 = 2 - 4 = -2 ] (отрицательно, значит в ( x = \frac{1}{3} ) максимум)

Таким образом, ( x = 1 ) — точка локального минимума, а ( x = \frac{1}{3} ) — точка локального максимума функции ( f(x) = x^3 - 2x^2 + x + 3 ).

Для нахождения стационарных точек функции необходимо найти ее производную и приравнять ее к нулю. Производная функции f(x) равна f'(x) = 3x^2 - 4x + 1. Теперь приравняем производную к нулю и решим уравнение: 3x^2 - 4x + 1 = 0. Далее найдем корни этого квадратного уравнения, используя дискриминант: D = (-4)^2 - 431 = 16 - 12 = 4. x1,2 = (-(-4) ± √4) / 2*3 = (4 ± 2) / 6 = 1, 1/3. Таким образом, стационарные точки функции f(x) равны x1 = 1 и x2 = 1/3.