Найти промежутки монотонности функции y=x^4-4x+4

Чтобы найти промежутки монотонности функции ( y = x^4 - 4x + 4 ), необходимо найти производную и определить, где она положительна или отрицательна.

1. Находим производную: [ y' = 4x^3 - 4 ]

2. Приравниваем производную к нулю: [ 4x^3 - 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^3 = 1 \quad \Rightarrow \quad x = 1 ]

3. Определяем знаки производной на интервалах:

   • Для ( x < 1 ) (например, ( x = 0 )): ( y' = 4(0)^3 - 4 = -4 ) (отрицательно)
   • Для ( x > 1 ) (например, ( x = 2 )): ( y' = 4(2)^3 - 4 = 28 ) (положительно)

4. Вывод: функция убывает на интервале ( (-\infty, 1) ) и возрастает на интервале ( (1, +\infty) ).

Таким образом, промежутки монотонности:

• Убывание: ( (-\infty, 1) )
• Возрастание: ( (1, +\infty) )

Для того чтобы найти промежутки монотонности функции ( y = x^4 - 4x + 4 ), нужно выполнить следующий алгоритм:

1. Найти первую производную функции

Первая производная показывает, где функция возрастает (( y' > 0 )) и где убывает (( y' < 0 )).

[ y = x^4 - 4x + 4 ] Вычислим производную: [ y' = \frac{d}{dx}(x^4 - 4x + 4) = 4x^3 - 4 ]

2. Найти критические точки

Критические точки — это точки, где производная равна нулю (( y' = 0 )) или где производная не существует (но в данном случае производная всюду определена). Найдем, где ( y' = 0 ):

[ 4x^3 - 4 = 0 ]

Упростим уравнение: [ 4(x^3 - 1) = 0 ] [ x^3 - 1 = 0 ] [ x^3 = 1 ] [ x = 1 ]

Таким образом, критическая точка — это ( x = 1 ).

3. Определить знак производной на промежутках

Разделим область определения функции на промежутки, используя критическую точку ( x = 1 ). Это дает два промежутка: ( (-\infty, 1) ) и ( (1, +\infty) ).

Теперь исследуем знак производной ( y' = 4x^3 - 4 ) на этих промежутках, подставляя тестовые точки из каждого промежутка в производную.

Промежуток ( (-\infty, 1) ):

Выберем тестовую точку, например, ( x = 0 ). Подставим в производную: [ y'(0) = 4(0)^3 - 4 = -4 ] Значение отрицательное (( y' < 0 )), значит, на промежутке ( (-\infty, 1) ) функция убывает.

Промежуток ( (1, +\infty) ):

Выберем тестовую точку, например, ( x = 2 ). Подставим в производную: [ y'(2) = 4(2)^3 - 4 = 4 \cdot 8 - 4 = 32 - 4 = 28 ] Значение положительное (( y' > 0 )), значит, на промежутке ( (1, +\infty) ) функция возрастает.

4. Вывод о промежутках монотонности

• На промежутке ( (-\infty, 1) ) функция убывает (( y' < 0 )).
• На промежутке ( (1, +\infty) ) функция возрастает (( y' > 0 )).

5. Дополнительное уточнение: поведение в критической точке

В критической точке ( x = 1 ) производная ( y' = 0 ). Чтобы уточнить характер экстремума, можно воспользоваться второй производной или исследовать поведение функции слева и справа от этой точки. В данном случае, при переходе через ( x = 1 ), знак производной меняется с минуса на плюс (( y' < 0 \to y' > 0 )), что указывает на наличие минимума в точке ( x = 1 ).

6. Ответ

• Функция убывает на ( (-\infty, 1) ).
• Функция возрастает на ( (1, +\infty) ).

Чтобы найти промежутки монотонности функции ( y = x^4 - 4x + 4 ), необходимо сначала вычислить её производную. Монотонность функции определяется знаком её производной: если производная положительна, функция возрастает; если отрицательна — убывает.

1. Найдём производную функции: [ y' = \frac{d}{dx}(x^4 - 4x + 4) = 4x^3 - 4 ]

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: [ 4x^3 - 4 = 0 ] Упростим уравнение: [ 4(x^3 - 1) = 0 ] Следовательно: [ x^3 - 1 = 0 \implies x^3 = 1 \implies x = 1 ]

3. Проверим, где производная меняет знак. Для этого исследуем интервалы, определяемые критической точкой ( x = 1 ):

   • Интервал 1: ( (-\infty, 1) )
   • Интервал 2: ( (1, +\infty) )

4. Выберем тестовые точки из каждого интервала для определения знака производной:

   • Для интервала ( (-\infty, 1) ) выберем, например, ( x = 0 ): [ y'(0) = 4(0)^3 - 4 = -4 \quad (\text{отрицательно}) ] Следовательно, на интервале ( (-\infty, 1) ) функция убывает.

   • Для интервала ( (1, +\infty) ) выберем, например, ( x = 2 ): [ y'(2) = 4(2)^3 - 4 = 4(8) - 4 = 32 - 4 = 28 \quad (\text{положительно}) ] Следовательно, на интервале ( (1, +\infty) ) функция возрастает.

5. Подведем итог:

   • Функция убывает на интервале ( (-\infty, 1) ).
   • Функция возрастает на интервале ( (1, +\infty) ).

Таким образом, промежутки монотонности функции ( y = x^4 - 4x + 4 ) таковы:

• Убывание: ( (-\infty, 1) )
• Возрастание: ( (1, +\infty) )