Найти промежутки монотонности функции Y=2x^2-3x+4

Для того чтобы найти промежутки монотонности функции Y=2x^2-3x+4, нужно вычислить производную этой функции. Для этого возьмем производную от каждого члена по отдельности.

Y' = 4x - 3

Теперь найдем точки, в которых производная равна нулю:

4x - 3 = 0 4x = 3 x = 3/4

Теперь найдем значение производной в точке x = 3/4:

Y'' = 4*(3/4) - 3 = 0

Так как значение производной равно нулю, то это означает, что в точке x = 3/4 функция имеет экстремум. Для определения типа экстремума можно воспользоваться знаком производной в окрестности этой точки.

Теперь проанализируем знак производной в интервалах, разбитых точкой x = 3/4. Для этого выберем произвольные точки в каждом интервале и подставим их в производную.

1. При x < 3/4: возьмем x = 0 4*0 - 3 = -3 < 0

2. При x > 3/4: возьмем x = 1 4*1 - 3 = 1 > 0

Итак, получаем, что функция Y=2x^2-3x+4 возрастает на интервале (-∞, 3/4) и убывает на интервале (3/4, +∞).

Для того чтобы найти промежутки монотонности функции ( y = 2x^2 - 3x + 4 ), нам нужно сначала определить, где функция возрастает, а где убывает. Это можно сделать с помощью исследования знака производной функции.

1. Найдем производную функции: [ y' = (2x^2 - 3x + 4)' = 4x - 3 ]

2. Определим критические точки, решив уравнение ( y' = 0 ): [ 4x - 3 = 0 ] [ 4x = 3 ] [ x = \frac{3}{4} ]

3. Исследуем знаки производной на интервалах, разделенных найденной критической точкой:

   • Когда ( x < \frac{3}{4} ), подставим, например, ( x = 0 ) в производную: [ y' = 4 \cdot 0 - 3 = -3 ] (отрицательно)
   • Когда ( x > \frac{3}{4} ), подставим, например, ( x = 1 ) в производную: [ y' = 4 \cdot 1 - 3 = 1 ] (положительно)

4. Сделаем выводы о монотонности:

   • Функция убывает на интервале ( (-\infty, \frac{3}{4}) ), так как производная отрицательна.
   • Функция возрастает на интервале ( (\frac{3}{4}, +\infty) ), так как производная положительна.

Таким образом, промежутки монотонности функции ( y = 2x^2 - 3x + 4 ) следующие:

• Убывает на ( (-\infty, \frac{3}{4}) )
• Возрастает на ( (\frac{3}{4}, +\infty) )

Функция Y=2x^2-3x+4 монотонно возрастает на промежутке (-бесконечность, 3/4) и монотонно убывает на промежутке (3/4, +бесконечность).