Найти производную функции f(x)=(3-x/2)^-9

Для нахождения производной функции f(x)=(3-x/2)^-9 используем правило дифференцирования сложной функции. Сначала найдем производную внутренней функции (3-x/2):

f'(x) = -1/2

Затем найдем производную внешней функции (3-x/2)^-9, применяя правило дифференцирования степенной функции:

f'(x) = -9(3-x/2)^-10 * (-1/2)

Упростим выражение:

f'(x) = 9(3-x/2)^-10 / 2

Итак, производная функции f(x)=(3-x/2)^-9 равна 9(3-x/2)^-10 / 2.

Чтобы найти производную функции ( f(x) = (3 - \frac{x}{2})^{-9} ), мы применим правило дифференцирования сложных функций, известное как правило цепочки.

1. Определим внешнюю и внутреннюю функции:

   Функция состоит из двух составляющих:

   • Внешняя функция: ( g(u) = u^{-9} ).
   • Внутренняя функция: ( u(x) = 3 - \frac{x}{2} ).

2. Найдём производную внешней функции ( g(u) ):

   Производная ( g(u) = u^{-9} ) по ( u ) равна: [ g'(u) = -9u^{-10} ]

3. Найдём производную внутренней функции ( u(x) ):

   Производная ( u(x) = 3 - \frac{x}{2} ) по ( x ) равна: [ u'(x) = -\frac{1}{2} ]

4. Применим правило цепочки:

   Производная функции ( f(x) ) будет: [ f'(x) = g'(u(x)) \cdot u'(x) ]

   Подставим найденные производные: [ f'(x) = (-9(3 - \frac{x}{2})^{-10}) \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) ]

5. Упростим выражение:

   [ f'(x) = 9 \cdot \frac{1}{2} \cdot (3 - \frac{x}{2})^{-10} ] [ f'(x) = \frac{9}{2} (3 - \frac{x}{2})^{-10} ]

Итак, производная функции ( f(x) = (3 - \frac{x}{2})^{-9} ) равна:

[ f'(x) = \frac{9}{2} (3 - \frac{x}{2})^{-10} ]