Найти площать фигуры ограниченной осями координат графиком функции f(x)=x²+8x+16 и прямой x=-2

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной осями координат, графиком функции ( f(x) = x^2 + 8x + 16 ) и прямой ( x = -2 ), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти точки пересечения графика функции с осями координат и прямой:

   • Пересечение с осью ( y ): Подставим ( x = 0 ) в уравнение функции: [ f(0) = 0^2 + 8 \cdot 0 + 16 = 16. ] Таким образом, график пересекает ось ( y ) в точке ( (0, 16) ).

   • Пересечение с осью ( x ): Для этого решим уравнение ( x^2 + 8x + 16 = 0 ). Это квадратное уравнение, которое можно решить через дискриминант или заметить, что это полный квадрат: [ x^2 + 8x + 16 = (x + 4)^2 = 0. ] Таким образом, единственное решение: ( x = -4 ). График пересекает ось ( x ) в точке ( (-4, 0) ).

2. Определить границы интегрирования:

   Нам интересна область, ограниченная осью ( x ), графиком функции и прямой ( x = -2 ). График функции пересекает ось ( x ) в ( x = -4 ), и нас интересует область от ( x = -4 ) до ( x = -2 ).

3. Вычислить площадь под графиком от ( x = -4 ) до ( x = -2 ):

   Площадь под графиком функции между ( x = -4 ) и ( x = -2 ) можно найти с помощью интеграла: [ A = \int_{-4}^{-2} (x^2 + 8x + 16) \, dx. ]

   Рассчитаем этот интеграл: [ \int (x^2 + 8x + 16) \, dx = \frac{x^3}{3} + 4x^2 + 16x + C. ]

   Подставим пределы интегрирования: [ A = \left[ \frac{x^3}{3} + 4x^2 + 16x \right]_{-4}^{-2}. ]

   Вычислим значения на границах: [ \left( \frac{(-2)^3}{3} + 4(-2)^2 + 16(-2) \right) - \left( \frac{(-4)^3}{3} + 4(-4)^2 + 16(-4) \right). ]

   [ = \left( \frac{-8}{3} + 16 - 32 \right) - \left( \frac{-64}{3} + 64 - 64 \right) ]

   [ = \left( \frac{-8}{3} - 16 \right) - \left( \frac{-64}{3} \right) ]

   [ = \frac{-8 - 48 + 64}{3} ]

   [ = \frac{8}{3}. ]

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной осями координат, графиком функции ( f(x) = x^2 + 8x + 16 ) и прямой ( x = -2 ), равна (\frac{8}{3}).

Для нахождения площади фигуры, ограниченной графиком функции f(x) = x² + 8x + 16 и прямой x = -2, необходимо найти точки их пересечения, которые определяют границы фигуры.

Сначала найдем точку пересечения графика функции и прямой x = -2. Подставим x = -2 в уравнение f(x): f(-2) = (-2)² + 8*(-2) + 16 f(-2) = 4 - 16 + 16 f(-2) = 4

Таким образом, точка пересечения графика функции и прямой x = -2 имеет координаты (-2, 4).

Далее найдем точки пересечения графика функции с осями координат. Для этого решим уравнение f(x) = 0: x² + 8x + 16 = 0 (x + 4)² = 0 x + 4 = 0 x = -4

Таким образом, точки пересечения графика функции и оси x имеют координаты (-4, 0).

Площадь фигуры, ограниченной графиком функции f(x) = x² + 8x + 16, прямой x = -2 и осями координат, можно найти с помощью определенного интеграла: S = ∫[a, b] |f(x)| dx

Где a и b - это границы интегрирования, которые равны координатам точек пересечения графика функции с осями координат: a = -4, b = -2

Теперь рассчитаем интеграл: S = ∫[-4, -2] |x² + 8x + 16| dx

После вычисления интеграла получим значение площади фигуры, ограниченной графиком функции и прямой.