Найти площадь криволинейной трапеции у=х³+1 , у=0 , х=2

Для нахождения площади криволинейной трапеции, ограниченной кривой ( y = x^3 + 1 ), осью абсцисс ( y = 0 ) и вертикальной линией ( x = 2 ), необходимо воспользоваться методом интегрирования.

1. Определение границ интегрирования: У нас имеется кривая ( y = x^3 + 1 ), которая пересекает ось абсцисс (то есть ( y = 0 )) и вертикальную линию ( x = 2 ). Нам нужно определить границы интегрирования по ( x ).

   Поскольку кривая пересекает ось абсцисс, нам нужно найти значение ( x ), при котором ( y = 0 ): [ x^3 + 1 = 0 \implies x^3 = -1 \implies x = -1 ] Таким образом, кривая пересекает ось абсцисс в точке ( x = -1 ).

2. Составление интеграла: Для нахождения площади криволинейной трапеции мы будем интегрировать функцию ( y = x^3 + 1 ) от ( x = -1 ) до ( x = 2 ): [ \text{Площадь} = \int_{-1}^{2} (x^3 + 1) \, dx ]

3. Вычисление интеграла:

   Найдём первообразную функции ( x^3 + 1 ). Интеграл от ( x^3 ) равен ( \frac{x^4}{4} ), а интеграл от 1 равен ( x ): [ \int (x^3 + 1) \, dx = \frac{x^4}{4} + x ]

   Теперь подставим границы интегрирования: [ \left[ \frac{x^4}{4} + x \right]_{-1}^{2} ]

   Сначала подставим верхнюю границу ( x = 2 ): [ \left( \frac{2^4}{4} + 2 \right) = \left( \frac{16}{4} + 2 \right) = 4 + 2 = 6 ]

   Теперь подставим нижнюю границу ( x = -1 ): [ \left( \frac{(-1)^4}{4} + (-1) \right) = \left( \frac{1}{4} - 1 \right) = \frac{1}{4} - \frac{4}{4} = -\frac{3}{4} ]

   Вычтем значение интеграла при нижней границе из значения при верхней границе: [ 6 - \left( -\frac{3}{4} \right) = 6 + \frac{3}{4} = 6 + 0.75 = 6.75 ]

   Таким образом, площадь криволинейной трапеции равна ( 6.75 ) квадратных единиц.

Площадь криволинейной трапеции равна 12 единицам квадратным.

Для нахождения площади криволинейной трапеции, ограниченной графиками функций у=х³+1, у=0 и х=2, необходимо вычислить определенный интеграл функции, описывающей разность между верхним и нижним графиками на отрезке [0, 2].

Сначала найдем точки пересечения функций у=х³+1 и у=0: х³+1=0 х³=-1 x=-1^(1/3) x=-1

Следовательно, точка пересечения графиков у=х³+1 и у=0 равна x=-1. Так как нас интересует область на отрезке [0, 2], то данная точка не учитывается.

Теперь вычислим интеграл от разности функций у=х³+1 и у=0 на отрезке [0, 2]: ∫[0,2] (х³+1)dx = ∫[0,2] х³dx + ∫[0,2] 1dx

Интегрируя по отрезкам [0,2] и [0,2] получаем: (1/4)х^4 + х ∣ от 0 до 2 = (1/4)2^4 + 2 - (1/4)0^4 - 0 = 4 + 2 = 6

Следовательно, площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиками у=х³+1, у=0 и х=2, равна 6.