Найти площадь фигуры, ограниченной параболой y=4-x^2, прямой y=x+2 и осью Ox. В упор не сходится с ответом,...

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной параболой ( y = 4 - x^2 ), прямой ( y = x + 2 ) и осью Ox, необходимо выполнить несколько шагов.

1. Найдем точки пересечения кривых.

   • Пересечение параболы и прямой: [ 4 - x^2 = x + 2 ] Переносим все члены в одну сторону: [ x^2 + x - 2 = 0 ] Решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта: [ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \times 1 \times (-2) = 1 + 8 = 9 ] [ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm 3}{2} ] Получаем корни: [ x_1 = 1, \quad x_2 = -2 ]

2. Определяем интервалы интегрирования.

   Поскольку фигура ограничена осью Ox, нам интересны только положительные значения функции. Следовательно, нам нужно найти точки пересечения с осью Ox для каждой функции.

   • Для параболы ( y = 4 - x^2 ): [ 4 - x^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 = 4 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 2 ]

   • Для прямой ( y = x + 2 ): [ x + 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -2 ]

   Поскольку ( x = -2 ) уже найдено, границы интегрирования будут от ( x = -2 ) до ( x = 1 ).

3. Вычисляем площадь между кривыми.

   Площадь между кривыми можно найти, интегрируя разность функций от точки пересечения ( x = -2 ) до ( x = 1 ).

   Площадь под параболой и над прямой будет: [ \int{-2}^{1} [(4 - x^2) - (x + 2)] \, dx = \int{-2}^{1} (2 - x^2 - x) \, dx ]

4. Выполним интегрирование:

   [ \int (2 - x^2 - x) \, dx = \int 2 \, dx - \int x^2 \, dx - \int x \, dx ] [ = 2x - \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + C ]

   Вычислим неопределенный интеграл в пределах от (-2) до (1): [ \left[ 2x - \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} \right]_{-2}^{1} ]

   Подставляем пределы:

   Для ( x = 1 ): [ 2(1) - \frac{1^3}{3} - \frac{1^2}{2} = 2 - \frac{1}{3} - \frac{1}{2} = \frac{12}{6} - \frac{2}{6} - \frac{3}{6} = \frac{7}{6} ]

   Для ( x = -2 ): [ 2(-2) - \frac{(-2)^3}{3} - \frac{(-2)^2}{2} = -4 + \frac{8}{3} - 2 = -6 + \frac{8}{3} = -\frac{18}{3} + \frac{8}{3} = -\frac{10}{3} ]

   Разность значений: [ \frac{7}{6} - \left(-\frac{10}{3}\right) = \frac{7}{6} + \frac{20}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2} ]

Таким образом, площадь фигуры равна (\frac{9}{2}).

Для того чтобы найти площадь фигуры, ограниченной параболой y=4-x^2, прямой y=x+2 и осью Ox, необходимо сначала найти точки их пересечения.

Подставив уравнения параболы и прямой друг в друга, получим уравнение вида: 4-x^2 = x+2. Решив это уравнение, найдем точки пересечения x=-1 и x=2.

Площадь фигуры можно найти как разность интегралов функций параболы и прямой между точками пересечения:

S = ∫[x1,x2] (4-x^2 - (x+2)) dx = ∫[-1,2] (4-x^2 - x-2) dx = ∫[-1,2] (2-x-x^2) dx

После вычисления этого интеграла, получим площадь фигуры, ограниченной параболой, прямой и осью Ox.