Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций у = 6 - х^2 и y= x+4.

Для того чтобы найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций y = 6 - x^2 и y = x + 4, необходимо найти точки их пересечения, которые будут являться границами данной фигуры.

Для этого приравняем уравнения двух функций друг к другу и найдем значения x и y:

6 - x^2 = x + 4 -x^2 - x + 2 = 0

После решения квадратного уравнения получим два корня: x = -2 и x = 1.

Подставляем найденные значения x обратно в уравнения функций, чтобы найти соответствующие значения y:

1. При x = -2: y = 6 - (-2)^2 = 6 - 4 = 2
2. При x = 1: y = 6 - 1^2 = 6 - 1 = 5

Таким образом, точки пересечения графиков функций y = 6 - x^2 и y = x + 4 имеют координаты (-2, 2) и (1, 5).

Далее, для нахождения площади фигуры между этими графиками необходимо вычислить определенный интеграл разности функций на отрезке [-2, 1]:

S = ∫[a, b] (f(x) - g(x)) dx S = ∫[-2, 1] ((6 - x^2) - (x + 4)) dx S = ∫[-2, 1] (5 - x - x^2) dx

После вычисления данного определенного интеграла получим значение площади фигуры, ограниченной графиками функций y = 6 - x^2 и y = x + 4.

Для нахождения площади фигуры, ограниченной графиками функций ( y = 6 - x^2 ) и ( y = x + 4 ), сначала определим точки пересечения этих функций. Эти точки будут границами интегрирования для вычисления площади.

1. Найдем точки пересечения: Решим уравнение ( 6 - x^2 = x + 4 ). [ 6 - x^2 = x + 4 \ x^2 + x - 2 = 0 ] Решим это квадратное уравнение. Дискриминант ( D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 ). Таким образом, корни уравнения: [ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2} ] Получаем корни: [ x_1 = 1, \quad x_2 = -2 ]

2. Определение границ интегрирования и функции для интегрирования: Графики пересекаются в точках с абсциссами ( x = -2 ) и ( x = 1 ). Посмотрим, какая функция выше в интервале от -2 до 1: [ y = 6 - x^2, \quad y = x + 4 ] По графику или подстановкой видно, что на интервале от ( x = -2 ) до ( x = 1 ), функция ( y = 6 - x^2 ) находится выше, чем ( y = x + 4 ).

3. Вычисление площади: Площадь между двумя кривыми на заданном интервале находится по формуле: [ \text{Площадь} = \int{a}^{b} (f(x) - g(x)) \, dx ] где ( f(x) = 6 - x^2 ) и ( g(x) = x + 4 ). Подставим и проинтегрируем: [ \text{Площадь} = \int{-2}^{1} ((6 - x^2) - (x + 4)) \, dx = \int{-2}^{1} (2 - x^2 - x) \, dx ] Найдем первообразную: [ \int (2 - x^2 - x) \, dx = 2x - \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + C ] Подставим пределы интегрирования: [ \left[2x - \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2}\right]{-2}^{1} = \left(2 \cdot 1 - \frac{1^3}{3} - \frac{1^2}{2}\right) - \left(2 \cdot (-2) - \frac{(-2)^3}{3} - \frac{(-2)^2}{2}\right) ] [ = \left(2 - \frac{1}{3} - \frac{1}{2}\right) - \left(-4 + \frac{-8}{3} - 2\right) ] [ = \left(2 - \frac{1}{3} - \frac{1}{2}\right) - \left(-4 - \frac{8}{3} - 2\right) = \left(2 - \frac{1}{3} - \frac{1}{2}\right) - \left(-\frac{20}{3}\right) ] [ = \left(\frac{6}{3} - \frac{1}{3} - \frac{3}{6}\right) + \frac{20}{3} = \frac{5}{3} + \frac{20}{3} = \frac{25}{3} ]

Итак, площадь фигуры, ограниченной графиками данных функций, равна ( \frac{25}{3} ) квадратных единиц.

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций у = 6 - х^2 и y= x+4, нужно найти точки их пересечения, затем найти интеграл от разности этих функций на отрезке между этими точками.