Найти первообразную функции f(x)=x^4

Чтобы найти первообразную функции ( f(x) = x^4 ), необходимо интегрировать эту функцию. Первообразная функции ( f(x) ), или неопределённый интеграл, обозначается как ( \int f(x) \, dx ).

Для функции ( f(x) = x^n ), где ( n \neq -1 ), формула для нахождения первообразной выглядит следующим образом:

[ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C ]

где ( C ) — произвольная постоянная интегрирования, которая добавляется, потому что неопределённый интеграл представляет собой семейство функций, отличающихся друг от друга на константу.

В случае функции ( f(x) = x^4 ), ( n = 4 ). Применим формулу:

[ \int x^4 \, dx = \frac{x^{4+1}}{4+1} + C = \frac{x^5}{5} + C ]

Таким образом, первообразная функции ( f(x) = x^4 ) равна:

[ F(x) = \frac{x^5}{5} + C ]

где ( C ) — произвольная константа интегрирования.

Для нахождения первообразной функции ( f(x) = x^4 ) необходимо использовать метод интегрирования. Для этого мы будем применять степенное правило интегрирования.

Итак, чтобы найти первообразную данной функции, мы должны увеличить степень аргумента на 1 и разделить на новую степень. Таким образом, интеграл от ( x^n ) равен ( \frac{x^{n+1}}{n+1} + C ), где ( C ) - произвольная постоянная.

Применяя этот метод к функции ( f(x) = x^4 ), получим:

( \int x^4 dx = \frac{x^{4+1}}{4+1} + C = \frac{x^5}{5} + C )

Таким образом, первообразная функции ( f(x) = x^4 ) равна ( F(x) = \frac{x^5}{5} + C ), где ( C ) - произвольная постоянная.