Найти область определения функций y=корень 5/x^2-9 + 1/x-4 "это корень"+"а это нет"

Для того чтобы найти область определения функции ( y = \sqrt{\frac{5}{x^2-9}} + \frac{1}{x-4} ), нужно учесть ограничения, накладываемые на функцию квадратного корня и на дроби.

1. Квадратный корень (\sqrt{\frac{5}{x^2-9}}):

   • Подкоренное выражение (\frac{5}{x^2-9}) должно быть неотрицательным, то есть (\frac{5}{x^2-9} \geq 0).
   • Знаменатель (x^2 - 9) не должен быть равен нулю, чтобы избежать деления на ноль. Так как (x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)), знаменатель обращается в ноль при (x = 3) и (x = -3). Таким образом, (x \neq 3) и (x \neq -3).

   Рассмотрим знаки выражения (x^2 - 9):

   • (x^2 - 9 > 0) при (x < -3) и (x > 3).
   • (x^2 - 9 < 0) при (-3 < x < 3).

   Так как нужно, чтобы (\frac{5}{x^2-9} \geq 0), исключаем интервал (-3 < x < 3), где (\frac{5}{x^2-9}) не определено.

2. Дробь (\frac{1}{x-4}):

   • Знаменатель не должен быть равен нулю, то есть (x \neq 4).

Объединяя эти условия, получаем, что область определения функции (y) есть объединение интервалов, где обе части функции определены:

• (x < -3)
• (x > 3)

При этом из этих интервалов нужно исключить точку (x = 4), так как в этой точке вторая дробь не определена.

Таким образом, область определения функции (y) есть: [ (-\infty, -3) \cup (3, 4) \cup (4, \infty) ]