Найти область определения функции: z=1/x^2-y^2
Найти область определения функции: z=1/x^2-y^2
Для нахождения области определения функции ( z = \frac{1}{x^2 - y^2} ), необходимо определить, при каких значениях переменных ( x ) и ( y ) выражение в знаменателе ( x^2 - y^2 ) не равно нулю, так как деление на ноль не определено.
Определим условие для области определения:
[ x^2 - y^2 \neq 0 ]
Решим уравнение:
Условие ( x^2 - y^2 = 0 ) можно переписать как:
[ x^2 = y^2 ]
Это уравнение имеет два решения:
[ x = y \quad \text{и} \quad x = -y ]
Эти уравнения описывают две прямые на плоскости ( xy ).
Определим область определения:
Область определения функции будет включать все точки плоскости ( xy ), кроме тех, которые лежат на прямых ( x = y ) и ( x = -y ).
Таким образом, область определения функции ( z = \frac{1}{x^2 - y^2} ) на плоскости ( xy ) — это вся плоскость, исключая прямые ( x = y ) и ( x = -y ).
Запись области определения:
Область определения функции можно записать как множество:
[ D = { (x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2 - y^2 \neq 0 } ]
Итак, функция ( z = \frac{1}{x^2 - y^2} ) определена для всех пар чисел ( (x, y) ), кроме тех, которые удовлетворяют уравнениям ( x = y ) и ( x = -y ).
Для того чтобы найти область определения функции z=1/x^2-y^2, нужно определить все значения переменных x и y, при которых функция определена и не приводит к делению на ноль или извлечению корня из отрицательного числа.
Для данной функции z=1/x^2-y^2 область определения будет следующей: 1) x не равно 0, так как деление на ноль не определено. 2) x^2-y^2 не равно 0, так как знаменатель не может быть равен нулю. 3) x^2-y^2 должно быть больше или равно нулю, так как под корнем не может быть отрицательное число.
Итак, область определения функции z=1/x^2-y^2: x ≠ 0 и x^2 - y^2 > 0.
