Найти наибольшее и наименьшее значение функции y=3^x-2 на отрезке [0;2].

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции (y = 3^x - 2) на отрезке [0;2] необходимо найти значения функции в крайних точках отрезка и в критических точках внутри этого отрезка.

1. Найдем значения функции в крайних точках отрезка:

   • При (x = 0): (y = 3^0 - 2 = 1 - 2 = -1)
   • При (x = 2): (y = 3^2 - 2 = 9 - 2 = 7)

2. Найдем критические точки внутри отрезка:

   • Найдем производную функции: (y' = 3^x \ln 3)
   • Найдем точки, где производная равна нулю: (3^x \ln 3 = 0) Это происходит только при (x = 0)

Таким образом, критическая точка внутри отрезка [0;2] - (x = 0), где (y = -1).

Следовательно, наибольшее значение функции на отрезке [0;2] равно 7 (достигается при (x = 2)), а наименьшее значение равно -1 (достигается при (x = 0)).

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции ( y = 3^x - 2 ) на отрезке ([0; 2]), выполним следующие шаги:

1. Анализ функции на концах отрезка: Рассмотрим значения функции в концах отрезка, то есть в точках ( x = 0 ) и ( x = 2 ).

   • Для ( x = 0 ): [ y(0) = 3^0 - 2 = 1 - 2 = -1 ]

   • Для ( x = 2 ): [ y(2) = 3^2 - 2 = 9 - 2 = 7 ]

2. Производная функции и критические точки: Найдем производную функции ( y = 3^x - 2 ) и определим критические точки внутри отрезка ([0; 2]).

   [ y'(x) = \frac{d}{dx}(3^x - 2) = 3^x \cdot \ln(3) ]

   Производная ( y'(x) ) равна нулю, когда ( 3^x \cdot \ln(3) = 0 ). Однако, так как ( 3^x ) и (\ln(3)) всегда положительны для любых значений ( x ), производная никогда не равна нулю. Это означает, что у функции нет критических точек внутри отрезка ([0; 2]).

3. Определение наибольшего и наименьшего значения: Поскольку критических точек на интервале нет, нам достаточно сравнить значения функции на концах отрезка.

   • Значение функции в точке ( x = 0 ): ( y(0) = -1 )
   • Значение функции в точке ( x = 2 ): ( y(2) = 7 )

   Таким образом, наименьшее значение функции на отрезке ([0; 2]) равно ( -1 ), а наибольшее значение равно ( 7 ).

Ответ: Наименьшее значение функции ( y = 3^x - 2 ) на отрезке ([0; 2]) равно ( -1 ), а наибольшее значение равно ( 7 ).