Найти критические точки функции f(x)=x^3+6x^2

Чтобы найти критические точки функции ( f(x) = x^3 + 6x^2 ), необходимо выполнить несколько шагов, связанных с нахождением производной и анализом этой производной.

1. Найти производную функции:
   Критические точки функции находятся в тех точках, где ее производная равна нулю или не существует. Следовательно, сначала нужно найти первую производную функции ( f(x) ).

   [ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 + 6x^2) = 3x^2 + 12x ]

2. Найти значения x, при которых производная равна нулю:
   Для нахождения критических точек решим уравнение ( f'(x) = 0 ).

   [ 3x^2 + 12x = 0 ]

   Вынесем общий множитель за скобку:

   [ 3x(x + 4) = 0 ]

   Из этого уравнения видно, что возможные значения ( x ), где производная равна нулю, это:

   [ x = 0 \quad \text{или} \quad x = -4 ]

3. Проверить существование производной:
   В данном случае производная ( f'(x) = 3x^2 + 12x ) существует для всех ( x ), так как это многочлен, а многочлены определены на всей числовой оси.

4. Критические точки:
   Таким образом, критические точки функции ( f(x) = x^3 + 6x^2 ) — это ( x = 0 ) и ( x = -4 ).

5. Анализ критических точек (по желанию):
   Для полного анализа поведения функции в критических точках можно использовать второй производной тест или интервал тестирования, чтобы определить, являются ли эти точки точками минимума, максимума или перегиба.

   Найдём вторую производную:

   [ f''(x) = \frac{d}{dx}(3x^2 + 12x) = 6x + 12 ]

   • Подставляем ( x = 0 ):

     [ f''(0) = 6(0) + 12 = 12 > 0 ]

     Это указывает на то, что в ( x = 0 ) функция имеет локальный минимум.

   • Подставляем ( x = -4 ):

     [ f''(-4) = 6(-4) + 12 = -24 + 12 = -12 < 0 ]

     Это указывает на то, что в ( x = -4 ) функция имеет локальный максимум.

Таким образом, критические точки функции ( f(x) = x^3 + 6x^2 ) это ( x = 0 ) (локальный минимум) и ( x = -4 ) (локальный максимум).

Для нахождения критических точек функции f(x) = x^3 + 6x^2 необходимо найти ее производную и приравнять ее к нулю, чтобы определить значения x, где производная равна нулю или не существует.

f'(x) = 3x^2 + 12x

Теперь приравняем производную к нулю и найдем критические точки:

3x^2 + 12x = 0

3x(x + 4) = 0

Таким образом, получаем два значения x: x = 0 и x = -4.

После этого необходимо проверить, являются ли эти точки точками экстремума, для чего используется вторая производная:

f''(x) = 6x + 12

Подставим найденные значения x:

f''(0) = 6*0 + 12 = 12 > 0 (точка x = 0 - точка минимума)

f''(-4) = 6*(-4) + 12 = -12 < 0 (точка x = -4 - точка максимума)

Таким образом, критические точки функции f(x) = x^3 + 6x^2: x = 0 (точка минимума) и x = -4 (точка максимума).