Найти функцию обратную к данной. указать ее область определения и область значения y=⁴√(х+2)

Для того чтобы найти функцию обратную к данной, нужно поменять местами переменные x и y и решить уравнение относительно y.

Исходная функция: y = ⁴√(x + 2)

Меняем переменные местами: x = ⁴√(y + 2)

Возводим обе части уравнения в четвертую степень: x^4 = y + 2

Отсюда находим функцию обратную к исходной: y = x^4 - 2

Таким образом, функция обратная к y = ⁴√(x + 2) имеет вид y = x^4 - 2.

Область определения функции обратной совпадает с областью значений исходной функции, то есть x ≥ -2. Область значений функции обратной - все действительные числа.

Функция обратная к y=⁴√(x+2) - y=(x+2)⁴, область определения - x≥-2, область значений - y≥0.

Чтобы найти функцию, обратную к ( y = \sqrt[4]{x + 2} ), мы должны выполнить следующие шаги:

1. Обозначение функции и переменной: Пусть ( y = \sqrt[4]{x + 2} ).

2. Выражение ( x ) через ( y ): Нам нужно выразить ( x ) через ( y ). Для этого возведем обе стороны уравнения в четвертую степень, чтобы избавиться от корня: [ y^4 = x + 2 ] Затем выразим ( x ): [ x = y^4 - 2 ]

3. Запись обратной функции: Обратная функция ( f^{-1}(y) ) будет: [ f^{-1}(y) = y^4 - 2 ]

4. Определение области определения и области значений:

   • Для исходной функции ( y = \sqrt[4]{x + 2} ):

     • Область определения (область допустимых значений ( x )): Подкоренное выражение ( x + 2 ) должно быть неотрицательным, т.е. ( x + 2 \geq 0 ). Значит, ( x \geq -2 ). [ D(f) = [-2, +\infty) ]
     • Область значений (область допустимых значений ( y )): Поскольку это четвертая корень, ( y ) может быть любым неотрицательным числом: [ R(f) = [0, +\infty) ]

   • Для обратной функции ( f^{-1}(y) = y^4 - 2 ):

     • Область определения (область допустимых значений ( y )): ( y ) должен быть в области значений исходной функции ( f ), то есть ( y \geq 0 ). [ D(f^{-1}) = [0, +\infty) ]
     • Область значений (область допустимых значений ( x )): Это будет область определения исходной функции ( f ), то есть ( x \geq -2 ). [ R(f^{-1}) = [-2, +\infty) ]

Итак, обратная функция ( f^{-1}(y) ) для ( y = \sqrt[4]{x + 2} ) имеет вид: [ f^{-1}(y) = y^4 - 2 ] Область определения обратной функции: [ D(f^{-1}) = [0, +\infty) ] Область значений обратной функции: [ R(f^{-1}) = [-2, +\infty) ]