Найти экстремумы функции : 1) f(x)=x^3-x^2-x+2. 2) f(x) = (5-4x)e^x

Чтобы найти экстремумы функции, необходимо выполнить несколько шагов. Первым делом нужно найти производную функции, затем приравнять ее к нулю и решить полученное уравнение, чтобы найти критические точки. После того как критические точки найдены, проверяем их на экстремум с помощью второй производной (достаточное условие) или других методов.

Часть 1: f(x) = x^3 - x^2 - x + 2

1. Найдем первую производную: [ f'(x) = 3x^2 - 2x - 1 ]

2. Приравниваем производную к нулю и решаем уравнение: [ 3x^2 - 2x - 1 = 0 ] Решим это квадратное уравнение используя формулу корней квадратного уравнения: [ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1)}}{2 \cdot 3} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{6} = \frac{2 \pm 4}{6} ] Получаем корни: [ x_1 = 1, \quad x_2 = -\frac{1}{3} ]

3. Используем вторую производную для проверки на экстремум: [ f''(x) = 6x - 2 ] Подставим найденные критические точки: [ f''(1) = 6 \cdot 1 - 2 = 4 > 0 \quad (\text{минимум}) ] [ f''\left(-\frac{1}{3}\right) = 6 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) - 2 = -4 < 0 \quad (\text{максимум}) ]

Часть 2: f(x) = (5 - 4x)e^x

1. Найдем первую производную, используя правило производной произведения: [ f'(x) = (5 - 4x)'e^x + (5 - 4x)(e^x)' = (-4)e^x + (5 - 4x)e^x = e^x(5 - 4x - 4) = e^x(1 - 4x) ]

2. Приравниваем производную к нулю и решаем уравнение: [ e^x(1 - 4x) = 0 ] Так как (e^x) никогда не равно нулю, то: [ 1 - 4x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{1}{4} ]

3. Используем вторую производную для проверки на экстремум: [ f''(x) = (e^x(1 - 4x))' = e^x(1 - 4x - 4) = e^x(-3 - 4x) = -3e^x - 4xe^x ] Подставим (x = \frac{1}{4}): [ f''\left(\frac{1}{4}\right) = -3e^{\frac{1}{4}} - 4 \cdot \frac{1}{4} \cdot e^{\frac{1}{4}} = -3e^{\frac{1}{4}} - e^{\frac{1}{4}} = -4e^{\frac{1}{4}} < 0 \quad (\text{максимум}) ]

Вывод:

1) Для функции (f(x) = x^3 - x^2 - x + 2), минимум достигается в точке (x = 1), максимум в точке (x = -\frac{1}{3}). 2) Для функции (f(x) = (5 - 4x)e^x), максимум достигается в точке (x = \frac{1}{4}).

1) Для нахождения экстремумов функции f(x) = x^3 - x^2 - x + 2 необходимо найти её производную и приравнять её к нулю:

f'(x) = 3x^2 - 2x - 1

Теперь найдем точки, в которых производная равна нулю:

3x^2 - 2x - 1 = 0 (x - 1)(3x + 1) = 0

Отсюда получаем две точки экстремума: x1 = 1 и x2 = -1/3

Теперь найдем значения функции в этих точках:

f(1) = 1^3 - 1^2 - 1 + 2 = 1 - 1 - 1 + 2 = 1 f(-1/3) = (-1/3)^3 - (-1/3)^2 - (-1/3) + 2 = -1/27 - 1/9 + 1/3 + 2 ≈ 2.259

Таким образом, функция f(x) = x^3 - x^2 - x + 2 имеет локальный минимум в точке (1, 1) и локальный максимум в точке (-1/3, 2.259).

2) Для функции f(x) = (5 - 4x)e^x также найдем её производную и приравняем её к нулю:

f'(x) = (5 - 4x)e^x - 4e^x = e^x(5 - 4x - 4)

Теперь найдем точку, в которой производная равна нулю:

e^x(5 - 4x - 4) = 0 5 - 4x - 4 = 0 -4x + 1 = 0 x = 1/4

Теперь найдем значение функции в этой точке:

f(1/4) = (5 - 4(1/4))e^(1/4) = (5 - 1)e^(1/4) = 4e^(1/4) ≈ 4.48

Таким образом, функция f(x) = (5 - 4x)e^x имеет локальный минимум в точке (1/4, 4.48).