Найдите значение выражения p(b)/p(1/b) если p(b)=(b+2/b)(2b+1/b)

Для нахождения значения выражения (\frac{p(b)}{p(1/b)}), где (p(b) = \left(b + \frac{2}{b}\right)\left(2b + \frac{1}{b}\right)), сначала определим, что такое (p(1/b)).

1. Найдем (p(1/b)):

   Подставим (1/b) в выражение для (p(b)): [ p(1/b) = \left(\frac{1}{b} + \frac{2}{1/b}\right)\left(2 \cdot \frac{1}{b} + \frac{1}{1/b}\right). ]

   Упростим каждую часть: [ \frac{1}{b} + \frac{2}{1/b} = \frac{1}{b} + \frac{2b}{1} = \frac{1}{b} + 2b, ] [ 2 \cdot \frac{1}{b} + \frac{1}{1/b} = \frac{2}{b} + b. ]

   Таким образом, (p(1/b) = \left(\frac{1}{b} + 2b\right)\left(\frac{2}{b} + b\right)).

2. Теперь найдем (\frac{p(b)}{p(1/b)}):

   Подставим найденные выражения: [ \frac{p(b)}{p(1/b)} = \frac{\left(b + \frac{2}{b}\right)\left(2b + \frac{1}{b}\right)}{\left(\frac{1}{b} + 2b\right)\left(\frac{2}{b} + b\right)}. ]

3. Упростим выражение:

   Заметим, что: [ b + \frac{2}{b} = \frac{b^2 + 2}{b}, ] [ 2b + \frac{1}{b} = \frac{2b^2 + 1}{b}, ] [ \frac{1}{b} + 2b = \frac{1 + 2b^2}{b}, ] [ \frac{2}{b} + b = \frac{2 + b^2}{b}. ]

   Подставим и упростим: [ \frac{\left(\frac{b^2 + 2}{b}\right)\left(\frac{2b^2 + 1}{b}\right)}{\left(\frac{1 + 2b^2}{b}\right)\left(\frac{2 + b^2}{b}\right)} = \frac{(b^2 + 2)(2b^2 + 1)}{(1 + 2b^2)(2 + b^2)}. ]

   Здесь числитель и знаменатель одинаковы, значит: [ \frac{p(b)}{p(1/b)} = 1. ]

Таким образом, значение выражения (\frac{p(b)}{p(1/b)}) равно 1.

Для начала найдем значение выражения p(b) при данном значении b: p(b) = (b + 2/b)(2b + 1/b) p(b) = 2b^2 + b + 4 Теперь найдем значение выражения p(1/b): p(1/b) = (1/b + 2/(1/b))(2/(1/b) + 1/(1/b)) p(1/b) = (1/b + 2b)(2b + 1) p(1/b) = 2b^2 + 4b + 1 Теперь подставим значения p(b) и p(1/b) в исходное выражение: p(b)/p(1/b) = (2b^2 + b + 4)/(2b^2 + 4b + 1) Получаем значение выражения p(b)/p(1/b) равное (2b^2 + b + 4)/(2b^2 + 4b + 1).