Найдите значение выражения √8*75*√6. И пожалуйста по возможности объясните как вы раскладывали каждое...

Конечно, давайте разберемся с этим выражением подробно и по шагам:

Нам нужно найти значение выражения:
[ \sqrt{8} \cdot 75 \cdot \sqrt{6}. ]

Шаг 1. Разложим числа под корнями на множители

Разберём сначала числа под корнем, чтобы упростить выражение:

1. ( 8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3 ).
   Значит, ( \sqrt{8} = \sqrt{2^3} = \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2} = 2 \cdot \sqrt{2} ) (вынесли один множитель (2) из-под корня).

2. ( 6 = 2 \cdot 3 ).
   Значит, ( \sqrt{6} ) остаётся как ( \sqrt{2 \cdot 3} ), потому что внутри корня нет пары одинаковых множителей для упрощения.

Теперь выражение выглядит так:
[ (2 \cdot \sqrt{2}) \cdot 75 \cdot \sqrt{6}. ]

Шаг 2. Упростим произведение корней

По правилу умножения корней:
[ \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}. ]

У нас есть ( \sqrt{2} \cdot \sqrt{6} ), где ( \sqrt{6} = \sqrt{2 \cdot 3} ).
Значит:
[ \sqrt{2} \cdot \sqrt{6} = \sqrt{2 \cdot (2 \cdot 3)} = \sqrt{2^2 \cdot 3}. ]
Так как под корнем ( 2^2 = 4 ), мы можем вынести (2) из-под корня:
[ \sqrt{2^2 \cdot 3} = 2 \cdot \sqrt{3}. ]

Теперь выражение становится:
[ (2 \cdot 75) \cdot (2 \cdot \sqrt{3}). ]

Шаг 3. Упростим оставшееся произведение

Рассмотрим произведение:
[ (2 \cdot 75) \cdot (2 \cdot \sqrt{3}). ]
Сначала умножим обычные числа:
[ 2 \cdot 75 = 150. ]
Значит, выражение становится:
[ 150 \cdot 2 \cdot \sqrt{3}. ]

Теперь умножим (150) на (2):
[ 150 \cdot 2 = 300. ]
Значит, окончательное выражение:
[ 300 \cdot \sqrt{3}. ]

Ответ:

Значение выражения равно:
[ 300 \cdot \sqrt{3}. ]
Если нужно, можно подставить приближённое значение ( \sqrt{3} \approx 1.732 ) и вычислить:
[ 300 \cdot 1.732 \approx 519.6. ]

Таким образом, точный ответ: ( 300 \cdot \sqrt{3} ), а приближённо ( \approx 519.6 ).

Чтобы найти значение выражения (\sqrt{8} \cdot 75 \cdot \sqrt{6}), начнем с разложения чисел под корнями и самих чисел на множители.

1. Разложим (\sqrt{8}) на множители: [ 8 = 4 \cdot 2 = 2^2 \cdot 2 = 2^3. ] Теперь найдем квадратный корень: [ \sqrt{8} = \sqrt{2^3} = \sqrt{2^2 \cdot 2} = \sqrt{2^2} \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{2}. ]

2. Теперь разложим 75: [ 75 = 25 \cdot 3 = 5^2 \cdot 3. ]

3. Разложим (\sqrt{6}) на множители: [ 6 = 2 \cdot 3. ] Для (\sqrt{6}) мы ничего не можем упростить, так как оба множителя не являются квадратами.

Теперь мы можем подставить найденные значения в исходное выражение: [ \sqrt{8} \cdot 75 \cdot \sqrt{6} = (2\sqrt{2}) \cdot (75) \cdot (\sqrt{6}). ]

Теперь подставим значение (75): [ = (2\sqrt{2}) \cdot (5^2 \cdot 3) \cdot (\sqrt{6}). ]

Упрощаем: [ = 2\sqrt{2} \cdot 75 \cdot \sqrt{6} = 2 \cdot 75 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{6}. ]

Теперь объединим корни: [ \sqrt{2} \cdot \sqrt{6} = \sqrt{2 \cdot 6} = \sqrt{12}. ]

Разложим (\sqrt{12}): [ 12 = 4 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3. ] Следовательно, [ \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}. ]

Теперь подставим это значение обратно: [ = 2 \cdot 75 \cdot 2\sqrt{3} = 4 \cdot 75 \cdot \sqrt{3}. ]

Теперь просто умножим: [ 4 \cdot 75 = 300. ]

Таким образом, окончательный результат будет: [ \sqrt{8} \cdot 75 \cdot \sqrt{6} = 300\sqrt{3}. ]

Итак, значение выражения (\sqrt{8} \cdot 75 \cdot \sqrt{6}) равно (300\sqrt{3}).

Для нахождения значения выражения ( \sqrt{8} \cdot 75 \cdot \sqrt{6} ) сначала упростим каждую часть.

1. Разложим ( \sqrt{8} ): [ 8 = 4 \cdot 2 = 2^2 \cdot 2 \implies \sqrt{8} = \sqrt{2^2 \cdot 2} = \sqrt{2^2} \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{2} ]

2. Теперь рассмотрим ( 75 ): [ 75 = 25 \cdot 3 = 5^2 \cdot 3 ]

3. Разложим ( \sqrt{6} ): [ 6 = 2 \cdot 3 \implies \sqrt{6} = \sqrt{2 \cdot 3} ]

Теперь мы можем собрать всё вместе: [ \sqrt{8} \cdot 75 \cdot \sqrt{6} = (2\sqrt{2}) \cdot (5^2 \cdot 3) \cdot \sqrt{2 \cdot 3} ]

Упрощаем: [ = 2\sqrt{2} \cdot 75 \cdot \sqrt{6} = 2 \cdot 75 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{6} ] [ = 2 \cdot 75 \cdot \sqrt{12} ]

Теперь упростим ( \sqrt{12} ): [ 12 = 4 \cdot 3 \implies \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3} ]

Подставляем обратно: [ = 2 \cdot 75 \cdot 2\sqrt{3} = 300\sqrt{3} ]

Таким образом, значение выражения ( \sqrt{8} \cdot 75 \cdot \sqrt{6} = 300\sqrt{3} ).