Найдите значение выражения : 5 умножить на 9 под корнем в третьей степени, умноженное на 9 под корнем...

Чтобы найти значение выражения ( 5 \times \sqrt[3]{9} \times \sqrt[6]{9} ), давайте разберём его по частям.

1. Сначала преобразуем корни:

   • Корень третьей степени из 9 можно записать как ( 9^{1/3} ).
   • Корень шестой степени из 9 можно записать как ( 9^{1/6} ).

2. Теперь подставим эти значения в выражение: [ 5 \times \sqrt[3]{9} \times \sqrt[6]{9} = 5 \times 9^{1/3} \times 9^{1/6} ]

3. Сложим показатели: При умножении степеней с одинаковым основанием складываются их показатели: [ 9^{1/3} \times 9^{1/6} = 9^{1/3 + 1/6} ] Чтобы сложить дроби ( \frac{1}{3} ) и ( \frac{1}{6} ), найдем общий знаменатель. Общий знаменатель для 3 и 6 — это 6: [ \frac{1}{3} = \frac{2}{6} ] Таким образом: [ 1/3 + 1/6 = \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} ] Следовательно: [ 9^{1/3} \times 9^{1/6} = 9^{1/2} ]

4. Теперь подставим это обратно в выражение: [ 5 \times 9^{1/2} ]

5. Корень из 9: ( 9^{1/2} ) — это корень квадратный из 9, что равно 3. Таким образом: [ 5 \times 9^{1/2} = 5 \times 3 = 15 ]

Таким образом, значение выражения ( 5 \times \sqrt[3]{9} \times \sqrt[6]{9} ) равно 15.

Давайте подробно разберем данное выражение и найдем его значение.

Итак, нам дано:

[ 5 \cdot \sqrt[3]{9} \cdot \sqrt[6]{9}. ]

Шаг 1: Представим корни в виде степеней

Напомним, что ( \sqrt[n]{a} ) можно записать как ( a^{\frac{1}{n}} ). Тогда:

[ \sqrt[3]{9} = 9^{\frac{1}{3}} ] и [ \sqrt[6]{9} = 9^{\frac{1}{6}}. ]

Теперь выражение становится:

[ 5 \cdot 9^{\frac{1}{3}} \cdot 9^{\frac{1}{6}}. ]

Шаг 2: Используем правило умножения степеней с одинаковым основанием

При умножении степеней с одинаковым основанием ( a^m \cdot a^n = a^{m+n} ). Здесь основание — 9, а показатели — ( \frac{1}{3} ) и ( \frac{1}{6} ). Складываем показатели:

[ \frac{1}{3} + \frac{1}{6}. ]

Приводим дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для 3 и 6 — 6. Тогда:

[ \frac{1}{3} = \frac{2}{6}, \quad \frac{1}{6} = \frac{1}{6}. ]

Складываем:

[ \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}. ]

Итак, ( 9^{\frac{1}{3}} \cdot 9^{\frac{1}{6}} = 9^{\frac{1}{2}} ).

Шаг 3: Что такое ( 9^{\frac{1}{2}} )?

Степень ( \frac{1}{2} ) означает квадратный корень. Следовательно:

[ 9^{\frac{1}{2}} = \sqrt{9} = 3. ]

Шаг 4: Подставляем обратно

Теперь выражение становится:

[ 5 \cdot 9^{\frac{1}{3}} \cdot 9^{\frac{1}{6}} = 5 \cdot 3. ]

Умножим:

[ 5 \cdot 3 = 15. ]

Ответ:

Значение выражения равно 15.