Найдите значение выражения √3cos^2(5π/12)−√3sin^2(5π/12) .Найдите значение выражения √12cos^2(5π/12)−√3...

1. 0
2. 0
3. -3

Для нахождения значений данных выражений сначала посчитаем значения cos(5π/12) и sin(5π/12).

cos(5π/12) = cos(π/3) = 1/2

sin(5π/12) = sin(π/3) = √3/2

Теперь подставим значения cos(5π/12) и sin(5π/12) в данные выражения:

1. √3cos^2(5π/12)−√3sin^2(5π/12) = √3(1/2)^2 - √3(√3/2)^2 = √3(1/4) - √3(3/4) = √3/4 - 3√3/4 = -2√3/4 = -√3/2

2. √12cos^2(5π/12)−√3 = √12(1/2)^2 - √3 = √12(1/4) - √3 = √3 - √3 = 0

3. √3−12√sin^2(5π/12) = √3 - 12√(√3/2)^2 = √3 - 12√(3/4) = √3 - 12*(√3/2) = √3 - 6√3 = -5√3

Таким образом, значение первого выражения равно -√3/2, второго - 0, и третьего -5√3.

Для того чтобы найти значения данных выражений, нам потребуется использовать тригонометрические идентичности и возможно некоторые тригонометрические преобразования. Рассмотрим каждое выражение по очереди.

1. Выражение √3cos^2(5π/12)−√3sin^2(5π/12)

Используем формулу косинуса двойного угла: [ \cos 2\theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta ] Тогда: [ \sqrt{3}(\cos^2(5π/12) - \sin^2(5π/12)) = \sqrt{3} \cos(2 \cdot 5π/12) = \sqrt{3} \cos(5π/6) ]

Значение косинуса: [ \cos(5π/6) = -\sqrt{3}/2 ] Таким образом: [ \sqrt{3}(-\sqrt{3}/2) = -3/2 ]

1. Выражение √12cos^2(5π/12)−√3

Используем значение косинуса угла 5π/12, которое мы нашли выше: [ \cos(5π/12) = \sqrt{6}/4 ] Таким образом: [ \cos^2(5π/12) = (\sqrt{6}/4)^2 = 6/16 = 3/8 ]

Теперь подставляем в выражение: [ \sqrt{12} \cdot 3/8 - \sqrt{3} = \sqrt{12} \cdot 3/8 - \sqrt{3} = 3\sqrt{3}/8 - \sqrt{3} = (3\sqrt{3} - 8\sqrt{3}) / 8 = -5\sqrt{3}/8 ]

1. Выражение √3−12√sin^2(5π/12)

Значение синуса угла 5π/12: [ \sin(5π/12) = \cos(π/12) ] Зная, что: [ \cos(π/12) = (\sqrt{6} + \sqrt{2})/4 ] Тогда: [ \sin^2(5π/12) = ((\sqrt{6} + \sqrt{2})/4)^2 = (\sqrt{6} + \sqrt{2})^2/16 = (6 + 2 + 2\sqrt{12})/16 = 8/16 + \sqrt{12}/8 = 1/2 + \sqrt{3}/4 ]

Таким образом: [ \sqrt{3} - 12\sqrt{\sin^2(5π/12)} = \sqrt{3} - 12\sqrt{1/2 + \sqrt{3}/4} ] Выражение под корнем можно упростить дальше или оценить численно.

Это дает нам оценку для каждого из выражений.