Найдите значение выражения: 1)2 sin165° cos165° 2)cos² 75°-sin² 75°

1) Пользуясь формулой двойного угла для синуса и косинуса, выражение 2 sin165° cos165° можно переписать следующим образом: 2 sin165° cos165° = sin$2\ast 165°$ = sin330° Так как синус отрицателен в третьем и четвертом квадрантах, то sin330° = -sin30° = -1/2. Ответ: -1/2.

2) Для выражения cos² 75° - sin² 75° применим формулу разности квадратов: cos² 75° - sin² 75° = cos$75°+75°$ cos$75°-75°$ = cos150° cos0° Так как cos0° = 1 и cos150° = -cos30° = -√3/2, то cos² 75° - sin² 75° = -√3/2 * 1 = -√3/2. Ответ: -√3/2.

Для того чтобы найти значения данных выражений, необходимо использовать тригонометрические формулы и свойства.

1) Найдём значение выражения $2\sin {165}^{\circ }\cos {165}^{\circ }$.

Мы можем использовать формулу удвоенного угла для синуса: $\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta .$

В данном случае $\theta ={165}^{\circ }$. Тогда: $2\sin {165}^{\circ }\cos {165}^{\circ }=\sin 2\cdot {165}^{\circ }=\sin {330}^{\circ }.$

Теперь найдём $\sin {330}^{\circ }$. Поскольку ${330}^{\circ }$ находится в четвёртой четверти, значение синуса в четвёртой четверти отрицательное. Угловое значение ${330}^{\circ }$ эквивалентно ${360}^{\circ }-{30}^{\circ }$, поэтому: $\sin {330}^{\circ }=-\sin {30}^{\circ }.$

А $\sin {30}^{\circ }=\frac{1}{2}$. Таким образом: $\sin {330}^{\circ }=-\frac{1}{2}.$

Следовательно, значение выражения $2\sin {165}^{\circ }\cos {165}^{\circ }$ равно: $2\sin {165}^{\circ }\cos {165}^{\circ }=-\frac{1}{2}.$

2) Найдём значение выражения ${\cos }^2{75}^{\circ }-{\sin }^2{75}^{\circ }$.

Здесь мы можем воспользоваться тригонометрической формулой для косинуса удвоенного угла: $\cos 2\theta ={\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta .$

В данном случае $\theta ={75}^{\circ }$. Тогда: ${\cos }^2{75}^{\circ }-{\sin }^2{75}^{\circ }=\cos 2\cdot {75}^{\circ }=\cos {150}^{\circ }.$

Теперь найдём $\cos {150}^{\circ }$. Поскольку ${150}^{\circ }$ находится во второй четверти, значение косинуса во второй четверти отрицательное. Угловое значение ${150}^{\circ }$ эквивалентно ${180}^{\circ }-{30}^{\circ }$, поэтому: $\cos {150}^{\circ }=-\cos {30}^{\circ }.$

А $\cos {30}^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Таким образом: $\cos {150}^{\circ }=-\frac{\sqrt{3}}{2}.$

Следовательно, значение выражения ${\cos }^2{75}^{\circ }-{\sin }^2{75}^{\circ }$ равно: ${\cos }^2{75}^{\circ }-{\sin }^2{75}^{\circ }=-\frac{\sqrt{3}}{2}.$

Таким образом, итоговые значения выражений: 1) $2\sin {165}^{\circ }\cos {165}^{\circ }=-\frac{1}{2}$, 2) ${\cos }^2{75}^{\circ }-{\sin }^2{75}^{\circ }=-\frac{\sqrt{3}}{2}$.