Найдите значение выражения: 1)2 sin165° cos165° 2)cos² 75°-sin² 75°

1) Пользуясь формулой двойного угла для синуса и косинуса, выражение 2 sin165° cos165° можно переписать следующим образом: 2 sin165° cos165° = sin(2 * 165°) = sin330° Так как синус отрицателен в третьем и четвертом квадрантах, то sin330° = -sin30° = -1/2. Ответ: -1/2.

2) Для выражения cos² 75° - sin² 75° применим формулу разности квадратов: cos² 75° - sin² 75° = cos(75° + 75°) cos(75° - 75°) = cos150° cos0° Так как cos0° = 1 и cos150° = -cos30° = -√3/2, то cos² 75° - sin² 75° = -√3/2 * 1 = -√3/2. Ответ: -√3/2.

Для того чтобы найти значения данных выражений, необходимо использовать тригонометрические формулы и свойства.

1) Найдём значение выражения (2 \sin 165^\circ \cos 165^\circ).

Мы можем использовать формулу удвоенного угла для синуса: [ \sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta. ]

В данном случае (\theta = 165^\circ). Тогда: [ 2 \sin 165^\circ \cos 165^\circ = \sin 2 \cdot 165^\circ = \sin 330^\circ. ]

Теперь найдём (\sin 330^\circ). Поскольку (330^\circ) находится в четвёртой четверти, значение синуса в четвёртой четверти отрицательное. Угловое значение (330^\circ) эквивалентно (360^\circ - 30^\circ), поэтому: [ \sin 330^\circ = -\sin 30^\circ. ]

А (\sin 30^\circ = \frac{1}{2}). Таким образом: [ \sin 330^\circ = -\frac{1}{2}. ]

Следовательно, значение выражения (2 \sin 165^\circ \cos 165^\circ) равно: [ 2 \sin 165^\circ \cos 165^\circ = -\frac{1}{2}. ]

2) Найдём значение выражения (\cos^2 75^\circ - \sin^2 75^\circ).

Здесь мы можем воспользоваться тригонометрической формулой для косинуса удвоенного угла: [ \cos 2\theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta. ]

В данном случае (\theta = 75^\circ). Тогда: [ \cos^2 75^\circ - \sin^2 75^\circ = \cos 2 \cdot 75^\circ = \cos 150^\circ. ]

Теперь найдём (\cos 150^\circ). Поскольку (150^\circ) находится во второй четверти, значение косинуса во второй четверти отрицательное. Угловое значение (150^\circ) эквивалентно (180^\circ - 30^\circ), поэтому: [ \cos 150^\circ = -\cos 30^\circ. ]

А (\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}). Таким образом: [ \cos 150^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}. ]

Следовательно, значение выражения (\cos^2 75^\circ - \sin^2 75^\circ) равно: [ \cos^2 75^\circ - \sin^2 75^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}. ]

Таким образом, итоговые значения выражений: 1) (2 \sin 165^\circ \cos 165^\circ = -\frac{1}{2}), 2) (\cos^2 75^\circ - \sin^2 75^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}).