Найдите значение производной функции y=4x*e^x в точке x0=1

Для того чтобы найти значение производной функции ( y = 4x \cdot e^x ) в точке ( x_0 = 1 ), необходимо выполнить несколько шагов:

1. Найти общую производную функции:

   Функция ( y = 4x \cdot e^x ) представляет собой произведение двух функций: ( u(x) = 4x ) и ( v(x) = e^x ). Для нахождения производной произведения двух функций используется правило произведения, которое гласит: [ (uv)' = u'v + uv' ]

   Применим это правило к нашим функциям ( u(x) ) и ( v(x) ):

   • Найдём производную ( u(x) ): [ u'(x) = \frac{d}{dx}(4x) = 4 ]

   • Найдём производную ( v(x) ): [ v'(x) = \frac{d}{dx}(e^x) = e^x ]

   Теперь подставим эти значения в правило произведения: [ y' = u'v + uv' = 4 \cdot e^x + 4x \cdot e^x ]

   Это можно записать в более компактной форме: [ y' = e^x (4 + 4x) ]

2. Подставить значение ( x_0 = 1 ) в найденную производную:

   Теперь, когда у нас есть выражение для производной ( y' ), подставим в него ( x = 1 ): [ y'(1) = e^1 (4 + 4 \cdot 1) ]

   Упростим выражение внутри скобок: [ y'(1) = e \cdot (4 + 4) = e \cdot 8 = 8e ]

Таким образом, значение производной функции ( y = 4x \cdot e^x ) в точке ( x_0 = 1 ) равно ( 8e ).

Для нахождения значения производной функции y=4x*e^x в точке x0=1 необходимо воспользоваться правилом дифференцирования произведения функций (производная произведения равна произведению производных функций).

Итак, данная функция представлена в виде произведения двух функций: 4x и e^x. Производная первой функции равна 4, а производная второй функции e^x равна e^x.

Применяя правило дифференцирования произведения функций, получаем производную функции y=4x*e^x:

y' = (4x)' e^x + 4x (e^x)' = 4 e^x + 4x e^x = 4e^x + 4x*e^x

Теперь подставляем значение x=1 в полученное выражение:

y'(1) = 4e^1 + 41e^1 = 4e + 4e = 8e

Таким образом, значение производной функции y=4x*e^x в точке x0=1 равно 8e.