Найдите значение производной функции в точке x0 а) y= x^2 + 2x -1 . x0 = 0 б)y= x^3 -3x +2 . x0 = -1

Чтобы найти значение производной функции в заданной точке ( x_0 ), нам нужно сначала вычислить производную функции, а затем подставить значение ( x_0 ) в эту производную.

а) ( y = x^2 + 2x - 1 ), ( x_0 = 0 )

1. Находим производную функции: Для функции ( y = x^2 + 2x - 1 ) применим правила дифференцирования: [ \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(2x) - \frac{d}{dx}(1) = 2x + 2 - 0 = 2x + 2 ]

2. Подставляем ( x_0 = 0 ) в производную: [ \frac{dy}{dx} \bigg|_{x=0} = 2(0) + 2 = 2 ]

Таким образом, значение производной функции в точке ( x_0 = 0 ) равно 2.

б) ( y = x^3 - 3x + 2 ), ( x_0 = -1 )

1. Находим производную функции: Для функции ( y = x^3 - 3x + 2 ) также применим правила дифференцирования: [ \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x^3) - \frac{d}{dx}(3x) + \frac{d}{dx}(2) = 3x^2 - 3 + 0 = 3x^2 - 3 ]

2. Подставляем ( x_0 = -1 ) в производную: [ \frac{dy}{dx} \bigg|_{x=-1} = 3(-1)^2 - 3 = 3(1) - 3 = 3 - 3 = 0 ]

Таким образом, значение производной функции в точке ( x_0 = -1 ) равно 0.

Итог

• Для функции ( y = x^2 + 2x - 1 ) в точке ( x_0 = 0 ) производная равна 2.
• Для функции ( y = x^3 - 3x + 2 ) в точке ( x_0 = -1 ) производная равна 0.

Чтобы найти значение производной функции в заданной точке ( x_0 ), нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти общую формулу производной функции ( y=f(x) ).
2. Подставить значение ( x_0 ) в найденную производную.

Рассмотрим указанные примеры.

а) ( y = x^2 + 2x - 1 ), ( x_0 = 0 )

1. Найдем производную функции ( y ):

Функция ( y = x^2 + 2x - 1 ) состоит из суммы трёх слагаемых. Производную каждого из них можно найти по стандартным правилам дифференцирования:

• Производная от ( x^2 ) равна ( 2x ),
• Производная от ( 2x ) равна ( 2 ),
• Производная от константы ( -1 ) равна ( 0 ).

Таким образом, производная ( y' ) равна: [ y' = \frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(2x) + \frac{d}{dx}(-1) = 2x + 2. ]

1. Подставим ( x_0 = 0 ) в производную:

[ y'(0) = 2(0) + 2 = 2. ]

Ответ для пункта а): Значение производной функции ( y ) в точке ( x_0 = 0 ) равно ( 2 ).

б) ( y = x^3 - 3x + 2 ), ( x_0 = -1 )

1. Найдем производную функции ( y ):

Функция ( y = x^3 - 3x + 2 ) также состоит из трёх слагаемых. По стандартным правилам:

• Производная от ( x^3 ) равна ( 3x^2 ),
• Производная от ( -3x ) равна ( -3 ),
• Производная от константы ( 2 ) равна ( 0 ).

Таким образом, производная ( y' ) равна: [ y' = \frac{d}{dx}(x^3) + \frac{d}{dx}(-3x) + \frac{d}{dx}(2) = 3x^2 - 3. ]

1. Подставим ( x_0 = -1 ) в производную:

[ y'(-1) = 3(-1)^2 - 3 = 3(1) - 3 = 0. ]

Ответ для пункта б): Значение производной функции ( y ) в точке ( x_0 = -1 ) равно ( 0 ).

Итоговые ответы:

а) ( y'(0) = 2 ),
б) ( y'(-1) = 0 ).