Найдите значение cos α , если известно, что sin α=1/3 и α є I четверти

Для того чтобы найти значение cos α, используем тригонометрическое тождество cos^2 α + sin^2 α = 1. Поскольку sin α = 1/3, подставляем это значение в тождество и находим cos α.

(1/3)^2 + cos^2 α = 1 1/9 + cos^2 α = 1 cos^2 α = 1 - 1/9 cos^2 α = 8/9

Так как угол α находится в I четверти, то cos α > 0. Поэтому берем положительный корень из 8/9:

cos α = √(8/9) = √8 / √9 = 2√2 / 3

Итак, значение cos α равно 2√2 / 3.

Для нахождения значения (\cos \alpha), зная, что (\sin \alpha = \frac{1}{3}) и (\alpha) находится в первой четверти, можно воспользоваться основным тригонометрическим тождеством:

[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 ]

Подставим известное значение (\sin \alpha) в это тождество:

[ \left( \frac{1}{3} \right)^2 + \cos^2 \alpha = 1 ]

[ \frac{1}{9} + \cos^2 \alpha = 1 ]

Теперь выразим (\cos^2 \alpha):

[ \cos^2 \alpha = 1 - \frac{1}{9} ]

Приведем правую часть к общему знаменателю:

[ 1 = \frac{9}{9} ]

[ \cos^2 \alpha = \frac{9}{9} - \frac{1}{9} = \frac{8}{9} ]

Теперь найдём (\cos \alpha):

[ \cos \alpha = \pm \sqrt{\frac{8}{9}} ]

[ \cos \alpha = \pm \frac{\sqrt{8}}{3} ]

[ \cos \alpha = \pm \frac{2\sqrt{2}}{3} ]

Поскольку (\alpha) находится в первой четверти, где косинус положителен, выбираем положительное значение:

[ \cos \alpha = \frac{2\sqrt{2}}{3} ]

Итак, значение (\cos \alpha) равно (\frac{2\sqrt{2}}{3}).