Найдите значения выражения (16x-25y/4√x-5√y)-√y если √x+√y=3

Дано: √x + √y = 3

Нам дано выражение (16x - 25y)/(4√x - 5√y) - √y. Чтобы найти его значение, мы должны начать с того, что подставим значение √x + √y = 3 в это выражение.

Заменим √x на (3 - √y) в выражении (16x - 25y)/(4√x - 5√y) - √y:

(16x - 25y)/(4(3 - √y) - 5√y) - √y

Упростим это выражение:

(16x - 25y)/(12 - 4√y - 5√y) - √y (16x - 25y)/(12 - 9√y) - √y

Теперь используем данное уравнение √x + √y = 3, чтобы выразить √x через √y:

√x = 3 - √y

Подставим это выражение в исходное уравнение, чтобы выразить x через y:

x = (3 - √y)^2 x = 9 - 6√y + y

Подставим это значение x в исходное выражение:

(16(9 - 6√y + y) - 25y)/(12 - 9√y) - √y

Теперь упростим это выражение и найдем окончательный ответ.

Для решения этой задачи давайте сначала упростим выражение и затем найдем значения x и y.

Выражение, которое нужно упростить: [ \frac{16x - 25y}{4\sqrt{x} - 5\sqrt{y}} - \sqrt{y} ] Известно, что: [ \sqrt{x} + \sqrt{y} = 3 ]

Чтобы упростить выражение, можно попробовать выразить ( x ) и ( y ) через ( \sqrt{x} ) и ( \sqrt{y} ). Пусть: [ \sqrt{x} = a ] [ \sqrt{y} = b ]

Тогда: [ a + b = 3 ] [ x = a^2 ] [ y = b^2 ]

Подставим в исходное выражение: [ \frac{16a^2 - 25b^2}{4a - 5b} - b ]

Для дальнейшего упрощения, заметим, что числитель можно переписать как разность квадратов: [ 16a^2 - 25b^2 = (4a)^2 - (5b)^2 = (4a - 5b)(4a + 5b) ]

Подставляем в выражение: [ \frac{(4a - 5b)(4a + 5b)}{4a - 5b} - b ] При условии, что ( 4a - 5b \neq 0 ), сокращаем ( 4a - 5b ): [ 4a + 5b - b ] [ 4a + 4b ] [ 4(a + b) ] Поскольку ( a + b = 3 ): [ 4 \cdot 3 = 12 ]

Однако, не забудем проверить случай, когда ( 4a - 5b = 0 ), что дает нам: [ 4a = 5b ] [ \frac{4}{5}a = b ] Подставляем в условие ( a + b = 3 ): [ a + \frac{4}{5}a = 3 ] [ \frac{9}{5}a = 3 ] [ a = \frac{15}{9} = \frac{5}{3} ] [ b = \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{3} = \frac{4}{3} ]

Теперь проверим исходное выражение при этих значениях: [ \frac{16 (\frac{5}{3})^2 - 25 (\frac{4}{3})^2}{4 \cdot \frac{5}{3} - 5 \cdot \frac{4}{3}} - \frac{4}{3} ] [ \frac{16 \cdot \frac{25}{9} - 25 \cdot \frac{16}{9}}{0} - \frac{4}{3} ] Здесь деление на ноль показывает, что дробь не определена, и мы не можем использовать эти значения для упрощения.

Таким образом, правильным ответом на задачу будет: [ 12 ] при условии, что ( 4a \neq 5b ).