Найдите значения тригонометрических функций угла альфа, если cos a=12/13 и 3п/2<a<2п

Дано: cos a = 12/13 и 3π/2 < a < 2π

Используя определение косинуса как отношение прилежащего катета к гипотенузе в прямоугольном треугольнике, мы можем представить себе прямоугольный треугольник, где катет прилежащий к углу а равен 12, а гипотенуза равна 13. Тогда в прямоугольном треугольнике с такими сторонами у нас получится угол, косинус которого равен 12/13.

Теперь, зная, что синус угла a равен √(1 - cos^2(a)), мы можем найти синус угла a:

sin a = √(1 - cos^2(a)) sin a = √(1 - (12/13)^2) sin a = √(1 - 144/169) sin a = √(25/169) sin a = 5/13

Таким образом, у нас получилось, что sin a = 5/13.

Теперь, зная значения синуса и косинуса угла a, мы можем найти значения остальных тригонометрических функций.

tg a = sin a / cos a tg a = (5/13) / (12/13) tg a = 5/12

ctg a = 1 / tg a ctg a = 1 / (5/12) ctg a = 12/5

sec a = 1 / cos a sec a = 1 / (12/13) sec a = 13/12

cosec a = 1 / sin a cosec a = 1 / (5/13) cosec a = 13/5

Таким образом, значения тригонометрических функций угла a при условиях cos a = 12/13 и 3π/2 < a < 2π будут следующими: sin a = 5/13 cos a = 12/13 tg a = 5/12 ctg a = 12/5 sec a = 13/12 cosec a = 13/5

Для того чтобы найти значения тригонометрических функций угла ( \alpha ), если известно, что ( \cos \alpha = \frac{12}{13} ) и ( \frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi ), нужно вспомнить основные тригонометрические тождества и свойства углов в различных четвертях тригонометрической окружности.

Угол ( \alpha ) лежит в четвертой четверти, так как ( \frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi ).

1. Косинус ( \cos \alpha ) в четвертой четверти положителен, что совпадает с данным ( \cos \alpha = \frac{12}{13} ).

2. Синус ( \sin \alpha ) в четвертой четверти отрицателен. Мы можем найти синус, используя тождество ( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 ): [ \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \left(\frac{12}{13}\right)^2 = 1 - \frac{144}{169} = \frac{25}{169}. ] Так как синус в четвертой четверти отрицателен, то ( \sin \alpha = -\frac{5}{13} ).

3. Тангенс ( \tan \alpha ) это отношение синуса к косинусу: [ \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{-\frac{5}{13}}{\frac{12}{13}} = -\frac{5}{12}. ]

4. Котангенс ( \cot \alpha ) – это обратная величина тангенса: [ \cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} = -\frac{12}{5}. ]

5. Секанс ( \sec \alpha ) – это обратная величина косинуса: [ \sec \alpha = \frac{1}{\cos \alpha} = \frac{13}{12}. ]

6. Косеканс ( \csc \alpha ) – это обратная величина синуса: [ \csc \alpha = \frac{1}{\sin \alpha} = -\frac{13}{5}. ]

Итак, значения тригонометрических функций угла ( \alpha ) следующие:

• ( \cos \alpha = \frac{12}{13} )
• ( \sin \alpha = -\frac{5}{13} )
• ( \tan \alpha = -\frac{5}{12} )
• ( \cot \alpha = -\frac{12}{5} )
• ( \sec \alpha = \frac{13}{12} )
• ( \csc \alpha = -\frac{13}{5} )

sin a = sqrt(1 - (cos a)^2) = sqrt(1 - (12/13)^2) = sqrt(1 - 144/169) = sqrt(25/169) = 5/13 tan a = sin a / cos a = (5/13) / (12/13) = 5/12 cot a = 1 / tan a = 12/5 sec a = 1 / cos a = 13/12 csc a = 1 / sin a = 13/5

Ответ: sin a = 5/13 tan a = 5/12 cot a = 12/5 sec a = 13/12 csc a = 13/5