Найдите все значения а, при каждых из которых уравнение имеет ровно два различных корня : √х+√(2а-х)=а...

Для начала, преобразуем уравнение √x + √(2a-x) = a:

√x + √(2a-x) = a √x = a - √(2a-x) x = (a - √(2a-x))^2 x = a^2 - 2a√(2a-x) + 2a - x x + x = a^2 + 2a - 2a√(2a-x) - x 2x = a^2 + 2a - 2a√(2a-x)

Теперь выразим x через a и проведем дальнейшие действия:

2x = a^2 + 2a - 2a√(2a-x) 2x = a^2 + 2a - 2a√(2a-x) 2x = a^2 + 2a - 2a√(2a-a^2 + 2a - x) 2x = a^2 + 2a - 2a√(2a-a^2 + 2a - x) 2x = a^2 + 2a - 2a√(4a - a^2 - x)

Теперь выразим a через x:

2x = a^2 + 2a - 2a√(4a - a^2 - x) 2x = a^2 + 2a - 2a√(4a - a^2 - x) 2x = a(a + 2 - 2√(4 - a - x))

Теперь, чтобы уравнение имело два различных корня, необходимо, чтобы дискриминант был положительным:

D = (a + 2 - 2√(4 - a - x))^2 - 4a(a + 2 - 2√(4 - a - x)) > 0

После решения этого неравенства можно найти все значения а, при которых уравнение имеет ровно два различных корня.

Для решения данной задачи начнем с анализа уравнения и нахождения условий, при которых оно имеет ровно два различных корня. Уравнение имеет следующий вид:

[ \sqrt{x} + \sqrt{2a - x} = a ]

1. Анализ допустимых значений:

   • Поскольку подкоренные выражения должны быть неотрицательны, получаем: [ x \geq 0 \quad \text{и} \quad 2a - x \geq 0 ] Из второго неравенства следует: [ x \leq 2a ] Таким образом, ( x ) должен удовлетворять условию: [ 0 \leq x \leq 2a ]

2. Исследование функции: Рассмотрим функцию ( f(x) = \sqrt{x} + \sqrt{2a - x} ). Эта функция симметрична относительно точки ( x = a ), так как замена ( x ) на ( 2a - x ) не изменяет значение функции.

3. Монотонность функции:

   • Рассмотрим производную функции ( f(x) ): [ f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{2\sqrt{2a - x}} ] Знак производной зависит от того, больше ли ( \sqrt{x} ) или ( \sqrt{2a - x} ). Функция возрастает на интервале от ( 0 ) до ( a ) и убывает от ( a ) до ( 2a ), достигая максимума в точке ( x = a ).

4. Максимальное значение функции:

   • Подставим ( x = a ) в функцию: [ f(a) = \sqrt{a} + \sqrt{2a - a} = \sqrt{a} + \sqrt{a} = 2\sqrt{a} ]
   • Для того чтобы уравнение ( \sqrt{x} + \sqrt{2a - x} = a ) имело решения, необходимо, чтобы ( a ) было равно максимальному значению функции ( f(x) ) на интервале ( [0, 2a] ). Это означает, что ( a = 2\sqrt{a} ). [ a = 2\sqrt{a} \quad \Rightarrow \quad a^2 = 4a \quad \Rightarrow \quad a^2 - 4a = 0 \quad \Rightarrow \quad a(a - 4) = 0 ] [ a = 0 \quad \text{или} \quad a = 4 ]

5. Анализ полученных значений ( a ):

   • При ( a = 0 ) уравнение превращается в ( \sqrt{x} = 0 ), которое имеет единственный корень ( x = 0 ).
   • При ( a = 4 ), уравнение ( \sqrt{x} + \sqrt{8 - x} = 4 ) имеет корни на краях интервала ( [0, 8] ), то есть при ( x = 0 ) и ( x = 8 ), и никаких других корней не имеет, так как функция симметрична и достигает максимума ( 4 ) при ( x = 4 ).

Итак, значение ( a = 4 ) является единственным значением, при котором уравнение имеет ровно два различных корня.