Найдите все пары целых чисел, удовлетворяющих уравнению x^2-3xy+2y^2=3. Срочно надо, с подробным решением....

x^2 - 3xy + 2y^2 = 3

Для начала преобразуем уравнение: (x - y)(x - 2y) = 3

Теперь рассмотрим все возможные пары целых чисел, у которых произведение равно 3: 1) x - y = 1, x - 2y = 3 2) x - y = -1, x - 2y = -3 3) x - y = 3, x - 2y = 1 4) x - y = -3, x - 2y = -1

Решив каждую из этих систем, получаем следующие ответы: 1) x = 2, y = 1 2) x = -2, y = -1 3) x = 4, y = 1 4) x = -4, y = -1

Следовательно, все пары целых чисел, удовлетворяющие уравнению x^2 - 3xy + 2y^2 = 3, это (2, 1), (-2, -1), (4, 1), (-4, -1).

Чтобы найти все пары целых чисел ((x, y)), удовлетворяющих уравнению (x^2 - 3xy + 2y^2 = 3), нужно рассмотреть это уравнение с точки зрения целочисленных решений.

Шаг 1: Анализ уравнения

Уравнение (x^2 - 3xy + 2y^2 = 3) является квадратичным относительно (x) и (y). Перепишем его:

[ x^2 - 3xy + 2y^2 = 3. ]

Это уравнение можно рассматривать как квадратное относительно (x):

[ x^2 - 3xy + 2y^2 - 3 = 0. ]

Шаг 2: Попробуем решить уравнение для различных значений (y)

Подставим (y = 0):

[ x^2 = 3. ]

Поскольку (x) — целое число, это уравнение не имеет решений.

Подставим (y = 1):

[ x^2 - 3x + 2 = 3. ] [ x^2 - 3x - 1 = 0. ]

Дискриминант этого уравнения:

[ D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 9 + 4 = 13. ]

Поскольку дискриминант не является полным квадратом, уравнение не имеет целых решений.

Подставим (y = 2):

[ x^2 - 6x + 8 = 3. ] [ x^2 - 6x + 5 = 0. ]

Дискриминант этого уравнения:

[ D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16. ]

Корни:

[ x = \frac{6 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{6 \pm 4}{2}. ]

Получаем:

[ x = 5 \quad \text{или} \quad x = 1. ]

Таким образом, для (y = 2) получаем пары ((5, 2)) и ((1, 2)).

Подставим (y = -1):

[ x^2 + 3x + 2 = 3. ] [ x^2 + 3x - 1 = 0. ]

Дискриминант:

[ D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 9 + 4 = 13. ]

Дискриминант не является полным квадратом, уравнение не имеет целых решений.

Подставим (y = -2):

[ x^2 + 6x + 8 = 3. ] [ x^2 + 6x + 5 = 0. ]

Дискриминант:

[ D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16. ]

Корни:

[ x = \frac{-6 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{-6 \pm 4}{2}. ]

Получаем:

[ x = -1 \quad \text{или} \quad x = -5. ]

Таким образом, для (y = -2) получаем пары ((-1, -2)) и ((-5, -2)).

Итоговое решение

Все пары целых чисел ((x, y)), удовлетворяющих данному уравнению:

1. ((5, 2))
2. ((1, 2))
3. ((-1, -2))
4. ((-5, -2))

Таким образом, уравнение (x^2 - 3xy + 2y^2 = 3) имеет четыре решения в целых числах.

Для начала преобразуем данное уравнение к квадратному уравнению относительно переменной x: x^2 - 3xy + 2y^2 = 3 x^2 - 3xy + 2y^2 - 3 = 0

Теперь найдем дискриминант этого квадратного уравнения: D = (-3y)^2 - 4 1 (2y^2 - 3) D = 9y^2 - 8y^2 + 12 D = y^2 + 12

Дискриминант должен быть полным квадратом, поэтому y^2 + 12 = z^2 (где z - целое число)

Теперь решим уравнение y^2 + 12 = z^2: y^2 - z^2 = -12 (y - z)(y + z) = -12

Так как произведение двух целых чисел равно -12, возможны следующие варианты: 1) y - z = -12, y + z = 1 2) y - z = -6, y + z = 2 3) y - z = -4, y + z = 3 4) y - z = -3, y + z = 4 5) y - z = -2, y + z = 6 6) y - z = -1, y + z = 12

Решив каждую из систем уравнений, найдем соответствующие значения y и z:

1) y = -5, z = 6 2) y = -2, z = 4 3) y = -1, z = 2 4) y = 1, z = 3 5) y = 4, z = 8 6) y = 6, z = 7

Таким образом, все пары целых чисел, удовлетворяющие уравнению x^2 - 3xy + 2y^2 = 3, будут следующими: (-5, 6), (-2, 4), (-1, 2), (1, 3), (4, 8), (6, 7)