Найдите все действительные числа x ,для каждого из которых справедливо неравенство: а) Ix-1I>2 б)...

Разберем оба неравенства по порядку и подробно рассмотрим их решение.

а) (|x - 1| > 2)

Рассмотрим определение модуля и преобразуем это неравенство. Напомним, что (|a| > b), где (b > 0), означает, что:

[ a > b \quad \text{или} \quad a < -b. ]

Применяя это к нашему неравенству (|x - 1| > 2), получаем два случая:

[ x - 1 > 2 \quad \text{или} \quad x - 1 < -2. ]

Рассмотрим каждый случай отдельно:

1. Первый случай: (x - 1 > 2):

[ x > 2 + 1 \quad \Rightarrow \quad x > 3. ]

1. Второй случай: (x - 1 < -2):

[ x < -2 + 1 \quad \Rightarrow \quad x < -1. ]

Итак, решение первого неравенства: (x > 3) или (x < -1).

Ответ к пункту (а): (x \in (-\infty, -1) \cup (3, \infty)).

б) (|x + 3| \leq 4)

Теперь рассмотрим второе неравенство. Напомним, что (|a| \leq b), где (b \geq 0), означает:

[ -b \leq a \leq b. ]

Применяя это к нашему неравенству (|x + 3| \leq 4), получаем:

[ -4 \leq x + 3 \leq 4. ]

Теперь решим двойное неравенство:

1. Из неравенства (-4 \leq x + 3) вычтем 3 из обеих частей:

[ -4 - 3 \leq x \quad \Rightarrow \quad x \geq -7. ]

1. Из неравенства (x + 3 \leq 4) также вычтем 3 из обеих частей:

[ x \leq 4 - 3 \quad \Rightarrow \quad x \leq 1. ]

Объединяя оба условия, получаем:

[ -7 \leq x \leq 1. ]

Ответ к пункту (б): (x \in [-7, 1]).

Итог

1. Для неравенства (|x - 1| > 2): (x \in (-\infty, -1) \cup (3, \infty)).
2. Для неравенства (|x + 3| \leq 4): (x \in [-7, 1]).

Для решения заданных неравенств мы будем использовать свойства модулей и представим каждое неравенство в виде системы.

а) ( |x - 1| > 2 )

Модуль ( |x - 1| > 2 ) означает, что расстояние от ( x ) до 1 больше 2. Это можно записать в виде двух неравенств:

1. ( x - 1 > 2 )
2. ( x - 1 < -2 )

Теперь решим каждое из неравенств.

1. Первое неравенство: [ x - 1 > 2 \ x > 3 ]

2. Второе неравенство: [ x - 1 < -2 \ x < -1 ]

Таким образом, решения неравенства ( |x - 1| > 2 ) представляют собой два интервала: [ x < -1 \quad \text{или} \quad x > 3 ]

Ответ для пункта а:

( x \in (-\infty, -1) \cup (3, +\infty) )

б) ( |x + 3| \leq 4 )

Модуль ( |x + 3| \leq 4 ) означает, что расстояние от ( x ) до -3 не превышает 4. Это можно записать в виде двух неравенств:

1. ( x + 3 \leq 4 )
2. ( x + 3 \geq -4 )

Теперь решим каждое из неравенств.

1. Первое неравенство: [ x + 3 \leq 4 \ x \leq 1 ]

2. Второе неравенство: [ x + 3 \geq -4 \ x \geq -7 ]

Таким образом, решения неравенства ( |x + 3| \leq 4 ) представляют собой замкнутый интервал: [ -7 \leq x \leq 1 ]

Ответ для пункта б:

( x \in [-7, 1] )

Так что окончательные ответы для ваших заданий таковы:

• а) ( x \in (-\infty, -1) \cup (3, +\infty) )
• б) ( x \in [-7, 1] )

Решим оба неравенства.

а) ( |x-1| > 2 )

Это неравенство можно разбить на два случая:

1. ( x - 1 > 2 ) → ( x > 3 )
2. ( x - 1 < -2 ) → ( x < -1 )

Таким образом, решение: ( x < -1 ) или ( x > 3 ).

б) ( |x+3| \leq 4 )

Это неравенство также можно разбить на два случая:

1. ( x + 3 \leq 4 ) → ( x \leq 1 )
2. ( x + 3 \geq -4 ) → ( x \geq -7 )

Таким образом, решение: ( -7 \leq x \leq 1 ).