Найдите угол между прямыми ab и cd если a(3; -1; 3) b(3; -2; 2) c(2; 2; 3) d(1; 2; 2)

Чтобы найти угол между двумя прямыми в трехмерном пространстве, сначала нужно определить направляющие векторы этих прямых. Для прямой, проходящей через точки (A(x_1, y_1, z_1)) и (B(x_2, y_2, z_2)), направляющий вектор (\vec{AB}) можно найти как ((x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1)).

Даны точки:

• (A(3, -1, 3))
• (B(3, -2, 2))
• (C(2, 2, 3))
• (D(1, 2, 2))

Найдем направляющие векторы для прямых (AB) и (CD):

• (\vec{AB} = (3 - 3, -2 + 1, 2 - 3) = (0, -1, -1))
• (\vec{CD} = (1 - 2, 2 - 2, 2 - 3) = (-1, 0, -1))

Теперь нужно найти угол между этими векторами. Для этого можно использовать формулу, основанную на скалярном произведении векторов и их нормах: [ \cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|} ] где (\vec{u} \cdot \vec{v}) — скалярное произведение векторов (\vec{u}) и (\vec{v}), а (|\vec{u}|) и (|\vec{v}|) — длины (нормы) этих векторов.

Скалярное произведение (\vec{AB}) и (\vec{CD}): [ \vec{AB} \cdot \vec{CD} = (0 \cdot -1) + (-1 \cdot 0) + (-1 \cdot -1) = 0 + 0 + 1 = 1 ]

Нормы векторов:

• (|\vec{AB}| = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{2})
• (|\vec{CD}| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{2})

Теперь подставляем в формулу для косинуса угла: [ \cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2} ]

Угол (\theta) между векторами (\vec{AB}) и (\vec{CD}) находится из: [ \theta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = 60^\circ ]

Таким образом, угол между прямыми (AB) и (CD) равен (60^\circ).

Для нахождения угла между прямыми ab и cd можно воспользоваться формулой для вычисления угла между двумя векторами:

cos(θ) = (a c) / (||a|| ||c||),

где a и c - векторы, образованные точками ab и cd соответственно, а ||a|| и ||c|| - их длины. Для начала найдем вектора ab и cd:

ab = b - a = (3 - 3, -2 - (-1), 2 - 3) = (0, -1, -1), cd = d - c = (1 - 2, 2 - 2, 2 - 3) = (-1, 0, -1).

Длины векторов ab и cd равны: ||ab|| = sqrt(0^2 + (-1)^2 + (-1)^2) = sqrt(2), ||cd|| = sqrt((-1)^2 + 0^2 + (-1)^2) = sqrt(2).

Теперь найдем скалярное произведение векторов ab и cd: ab cd = 0 (-1) + (-1) 0 + (-1) (-1) = 1.

Подставим значения в формулу для cos(θ): cos(θ) = 1 / (sqrt(2) * sqrt(2)) = 1 / 2.

Таким образом, угол между прямыми ab и cd равен arccos(1 / 2) ≈ 60°.