Найдите точку максимума функции y=(x+4)^2(x-5)+10 Найдите точку максимума функции y=√-8+6x-x^2

Для нахождения точки максимума функции y=(x+4)^2(x-5)+10, необходимо найти производную этой функции и приравнять ее к нулю.

y=(x+4)^2(x-5)+10 y' = 2(x+4)(x-5) + (x+4)^2 y' = 2(x^2-x-20) + (x^2+8x+16) y' = 2x^2-2x-40 + x^2+8x+16 y' = 3x^2+6x-24

Теперь приравняем производную к нулю и найдем x:

3x^2+6x-24 = 0 x^2+2x-8 = 0 (x+4)(x-2) = 0 x = -4 или x = 2

Теперь найдем значения y в точках x=-4 и x=2:

y(-4) = (-4+4)^2(-4-5)+10 = 10 y(2) = (2+4)^2(2-5)+10 = 10

Таким образом, точки максимума функции y=(x+4)^2(x-5)+10 находятся при x=-4 и x=2, и значение функции в этих точках равно 10.

Для функции y=√-8+6x-x^2 необходимо заметить, что под корнем стоит отрицательное число, что означает, что функция не определена на всей области определения. Таким образом, у данной функции нет точки максимума.

Для нахождения точек максимума функции необходимо использовать производную функции. Начнем с первой функции.

1. Функция ( y = (x+4)^2(x-5) + 10 ):

   Сначала найдем производную этой функции. Обозначим: [ y = (x+4)^2(x-5) + 10 ]

   Для нахождения производной используем правило произведения и правило цепочки. Пусть: [ u(x) = (x+4)^2, \quad v(x) = (x-5) ]

   Тогда производная будет: [ y' = u'v + uv' ] где: [ u' = 2(x+4), \quad v' = 1 ]

   Подставляем в формулу: [ y' = 2(x+4)(x-5) + (x+4)^2 \cdot 1 ] [ y' = 2(x+4)(x-5) + (x+4)^2 ]

   Приведем к общему виду: [ y' = 2(x^2 - 5x + 4x - 20) + (x^2 + 8x + 16) ] [ = 2(x^2 - x - 20) + x^2 + 8x + 16 ] [ = 2x^2 - 2x - 40 + x^2 + 8x + 16 ] [ = 3x^2 + 6x - 24 ]

   Найдем критические точки, решив уравнение ( y' = 0 ): [ 3x^2 + 6x - 24 = 0 ]

   Разделим на 3: [ x^2 + 2x - 8 = 0 ]

   Найдем корни квадратного уравнения: [ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 ]

   [ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm 6}{2} ]

   [ x_1 = \frac{-2 + 6}{2} = 2, \quad x_2 = \frac{-2 - 6}{2} = -4 ]

   Теперь определим, какая из критических точек является точкой максимума. Для этого можно использовать вторую производную или исследовать знак первой производной в интервалах.

   Рассмотрим вторую производную: [ y'' = 6x + 6 ]

   Подставим ( x = 2 ) и ( x = -4 ):

   • ( y''(2) = 6 \cdot 2 + 6 = 18 ) (положительная, что говорит о минимуме)
   • ( y''(-4) = 6 \cdot (-4) + 6 = -24 + 6 = -18 ) (отрицательная, что говорит о максимуме)

   Значит, точка максимума для первой функции: ( x = -4 ).

2. Функция ( y = \sqrt{-8 + 6x - x^2} ):

   Здесь функция под корнем должна быть неотрицательной. Поэтому: [ -8 + 6x - x^2 \geq 0 ]

   Решим квадратное неравенство: [ x^2 - 6x + 8 \leq 0 ]

   Найдем корни соответствующего уравнения: [ D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4 ] [ x_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{6 \pm 2}{2} ] [ x_1 = 4, \quad x_2 = 2 ]

   Неравенство имеет решение на промежутке ( 2 \leq x \leq 4 ).

   Производную от функции: [ y' = \frac{d}{dx} \left(\sqrt{-8 + 6x - x^2}\right) = \frac{1}{2\sqrt{-8 + 6x - x^2}} \cdot (6 - 2x) ]

   Найдем критические точки: [ 6 - 2x = 0 \Rightarrow x = 3 ]

   Проверим знак производной на промежутке:

   • Для ( x < 3 ), например, ( x = 2.5 ), ( y') положительна.
   • Для ( x > 3 ), например, ( x = 3.5 ), ( y') отрицательна.

   Таким образом, в точке ( x = 3 ) функция достигает максимума.

Точка максимума для второй функции: ( x = 3 ).