Найдите точку максимума функции y=x^3+2x^2+x+3

Для нахождения точки максимума функции ( y = x^3 + 2x^2 + x + 3 ) необходимо сначала найти критические точки функции, а затем определить, являются ли они точками максимума.

Шаг 1: Найдем производную функции.

Производная функции ( y = x^3 + 2x^2 + x + 3 ) будет: [ y' = 3x^2 + 4x + 1 ]

Шаг 2: Решим уравнение ( y' = 0 ) для нахождения критических точек.

[ 3x^2 + 4x + 1 = 0 ]

Это квадратное уравнение, решим его, используя формулу корней квадратного уравнения: [ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ] где ( a = 3 ), ( b = 4 ), ( c = 1 ).

[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 12}}{6} ] [ x = \frac{-4 \pm 2}{6} ]

Отсюда получаем два корня: [ x_1 = \frac{-4 + 2}{6} = -\frac{1}{3} ] [ x_2 = \frac{-4 - 2}{6} = -1 ]

Шаг 3: Определение максимального или минимального значения в критических точках с помощью второй производной или теста первой производной.

Вычислим вторую производную функции: [ y'' = 6x + 4 ]

Подставим критические точки во вторую производную: [ y''(-\frac{1}{3}) = 6(-\frac{1}{3}) + 4 = -2 + 4 = 2 ] [ y''(-1) = 6(-1) + 4 = -6 + 4 = -2 ]

Шаг 4: Анализ результатов.

Так как ( y''(-\frac{1}{3}) > 0 ), точка ( x = -\frac{1}{3} ) является точкой минимума.

Так как ( y''(-1) < 0 ), точка ( x = -1 ) является точкой максимума.

Ответ: Точка максимума функции ( y = x^3 + 2x^2 + x + 3 ) находится в точке ( x = -1 ).

Для нахождения точки максимума функции y=x^3+2x^2+x+3 необходимо найти ее производную и приравнять ее к нулю.

y' = 3x^2 + 4x + 1

Теперь найдем точку, в которой производная равна нулю:

3x^2 + 4x + 1 = 0

Далее решим это квадратное уравнение:

D = 4^2 - 431 = 16 - 12 = 4

x = (-4 ± √4) / 6

x1 = (-4 + 2) / 6 = -2 / 6 = -1/3 x2 = (-4 - 2) / 6 = -6 / 6 = -1

Таким образом, у нас есть две точки, в которых производная равна нулю: x = -1/3 и x = -1.

Далее найдем значение функции в этих точках:

y(-1/3) = (-1/3)^3 + 2*(-1/3)^2 - 1/3 + 3 = -1/27 + 2/9 - 1/3 + 3 = -1/27 + 6/27 - 9/27 + 27/27 = 23/27

y(-1) = (-1)^3 + 2*(-1)^2 - 1 + 3 = -1 + 2 - 1 + 3 = 3

Таким образом, точки (-1/3, 23/27) и (-1, 3) являются точками максимума функции y=x^3+2x^2+x+3.

Точка максимума функции y=x^3+2x^2+x+3 - это вершина параболы, которая равна (-2/3, 35/27).