Найдите точки экстремума функции y=3x²-x³

Чтобы найти точки экстремума функции ( y = 3x^2 - x^3 ), необходимо выполнить несколько шагов.

Шаг 1: Найдите производную функции

Первый шаг в поиске экстремумов — это нахождение производной функции, так как экстремумы (максимумы и минимумы) находятся в точках, где производная равна нулю или не существует.

Функция задана как: [ y = 3x^2 - x^3 ]

Найдем её производную: [ y' = \frac{d}{dx}(3x^2 - x^3) = 6x - 3x^2 ]

Шаг 2: Найдите критические точки

Критические точки находятся там, где производная равна нулю или не существует. В данном случае производная существует для всех ( x ), поэтому мы решаем уравнение: [ 6x - 3x^2 = 0 ]

Чтобы решить это уравнение, вынесем общий множитель за скобки: [ 3x(2 - x) = 0 ]

Теперь у нас есть произведение, равное нулю, что означает, что хотя бы один из множителей должен быть равен нулю: [ 3x = 0 \quad \text{или} \quad 2 - x = 0 ]

Решая эти уравнения, получаем: [ x = 0 \quad \text{или} \quad x = 2 ]

Таким образом, критические точки находятся в ( x = 0 ) и ( x = 2 ).

Шаг 3: Определите тип экстремума

Чтобы определить, являются ли эти точки максимумами, минимумами или точками перегиба, можно использовать второй производный тест. Найдем вторую производную функции: [ y'' = \frac{d}{dx}(6x - 3x^2) = 6 - 6x ]

Теперь подставим критические точки в вторую производную:

• Для ( x = 0 ): [ y''(0) = 6 - 6 \cdot 0 = 6 ] Поскольку ( y''(0) > 0 ), точка ( x = 0 ) является точкой минимума.

• Для ( x = 2 ): [ y''(2) = 6 - 6 \cdot 2 = 6 - 12 = -6 ] Поскольку ( y''(2) < 0 ), точка ( x = 2 ) является точкой максимума.

Шаг 4: Найдите значения функции в точках экстремума

Теперь найдем значения функции в найденных точках экстремума:

• Для ( x = 0 ): [ y(0) = 3(0)^2 - (0)^3 = 0 ]

• Для ( x = 2 ): [ y(2) = 3(2)^2 - (2)^3 = 3 \cdot 4 - 8 = 12 - 8 = 4 ]

Ответ

Функция ( y = 3x^2 - x^3 ) имеет точку минимума в ( (0, 0) ) и точку максимума в ( (2, 4) ).

Чтобы найти точки экстремума функции y=3x²-x³, необходимо найти производную функции и приравнять ее к нулю. После этого найденные значения подставить обратно в исходную функцию и найти соответствующие значения y.

Для нахождения точек экстремума функции y=3x²-x³ сначала найдем ее производную, используя правило дифференцирования степенной функции:

y' = 6x - 3x²

Затем найдем точки, в которых производная равна нулю:

6x - 3x² = 0 3x(2 - x) = 0

Отсюда получаем два решения: x = 0 и x = 2.

Далее нужно проанализировать знак производной в окрестностях найденных точек. При x < 0 производная отрицательна, при 0 < x < 2 производная положительна, и при x > 2 производная снова отрицательна.

Таким образом, у нас есть точка экстремума в x = 0 (минимум) и x = 2 (максимум).

Для нахождения значений функции в этих точках, подставим их обратно в исходное уравнение:

y(0) = 30² - 0³ = 0 y(2) = 32² - 2³ = 8

Таким образом, точки экстремума функции y=3x²-x³ равны (0,0) и (2,8).