Найдите tg a если cos a=2 корня из 5 на 5 (дробь) и a принадлежит (1,5пи;2пи)

Чтобы найти тангенс угла ( \alpha ), зная косинус этого угла, можно воспользоваться основным тригонометрическим тождеством и определением тангенса:

1. Из основного тригонометрического тождества: [ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1. ] Здесь нам известно, что ( \cos \alpha = \frac{2\sqrt{5}}{5} ). Подставим это в тождество: [ \sin^2 \alpha = 1 - \left(\frac{2\sqrt{5}}{5}\right)^2 = 1 - \frac{20}{25} = \frac{5}{25} = \frac{1}{5}. ] Следовательно, ( \sin \alpha = \pm\sqrt{\frac{1}{5}} = \pm\frac{1}{\sqrt{5}} = \pm\frac{\sqrt{5}}{5} ).

2. Выбор знака для синуса: Поскольку ( \alpha ) принадлежит интервалу ( (1.5\pi, 2\pi) ), то ( \alpha ) находится в четвёртой четверти, где синус угла отрицателен. Следовательно, ( \sin \alpha = -\frac{\sqrt{5}}{5} ).

3. Найдем тангенс угла ( \alpha ): [ \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{-\frac{\sqrt{5}}{5}}{\frac{2\sqrt{5}}{5}} = \frac{-\sqrt{5}}{2\sqrt{5}} = -\frac{1}{2}. ]

Итак, ( \tan \alpha = -\frac{1}{2} ).

Для нахождения tg a, нам необходимо использовать тригонометрическое тождество tg a = sin a / cos a. Мы уже знаем, что cos a = 2√5 / 5.

Для того чтобы найти sin a, можем воспользоваться связью между sin a и cos a: sin^2 a + cos^2 a = 1. Подставляем значение cos a и находим sin a.

(2√5 / 5)^2 + sin^2 a = 1 4 * 5 / 25 + sin^2 a = 1 4 / 5 + sin^2 a = 1 sin^2 a = 1 - 4 / 5 sin^2 a = 1 - 0.8 sin^2 a = 0.2 sin a = √0.2

Теперь подставляем найденные значения sin a и cos a в формулу tg a = sin a / cos a:

tg a = √0.2 / (2√5 / 5) tg a = 5√0.2 / 2√5 tg a = 5 / 2

Таким образом, tg a = 5 / 2.

tg a = sin a / cos a sin a = sqrt(1 - cos^2 a) sin a = sqrt(1 - (2sqrt(5)/5)^2) sin a = sqrt(1 - 20/25) sin a = sqrt(5/25) sin a = 1/5

tg a = (1/5) / (2sqrt(5)/5) tg a = 1 / 2sqrt(5) tg a = 1 / (2 * 5) tg a = 1 / 10 tg a = 0.1