Найдите сумму всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии: а) 1; 1/3;1/9;.б) 3;1/3;1/27;.в) 1;3/4;9/16.
Найдите сумму всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии: а) 1; 1/3;1/9;.б) 3;1/3;1/27;.в) 1;3/4;9/16.
а) Сумма всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 1/(1-1/3) = 3/2. б) Сумма всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 3/(1-1/3) = 9/2. в) Сумма всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 1/(1-3/4) = 4.
Для нахождения суммы всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии используется формула:
[ S = \frac{a_1}{1 - r} ]
где ( a_1 ) — первый член прогрессии, ( r ) — знаменатель прогрессии (отношение любого члена прогрессии к предыдущему), и ( |r| < 1 ).
Рассмотрим каждый из случаев:
а) Прогрессия: 1; 1/3; 1/9; .
Подставляем в формулу:
[ S = \frac{1}{1 - 1/3} = \frac{1}{2/3} = \frac{3}{2} ]
б) Прогрессия: 3; 1/3; 1/27; .
Подставляем в формулу:
[ S = \frac{3}{1 - 1/9} = \frac{3}{8/9} = \frac{3 \times 9}{8} = \frac{27}{8} ]
в) Прогрессия: 1; 3/4; 9/16; .
Подставляем в формулу:
[ S = \frac{1}{1 - 3/4} = \frac{1}{1/4} = 4 ]
Таким образом, суммы всех членов данных бесконечно убывающих геометрических прогрессий: а) (\frac{3}{2}), б) (\frac{27}{8}), в) (4).
Для нахождения суммы всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии необходимо использовать формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
S = a / (1 - r),
где S - сумма всех членов прогрессии, a - первый член прогрессии, r - знаменатель прогрессии.
а) Для прогрессии 1; 1/3; 1/9. a = 1, r = 1/3. S = 1 / (1 - 1/3) = 1 / (2/3) = 3/2.
б) Для прогрессии 3; 1/3; 1/27. a = 3, r = 1/3. S = 3 / (1 - 1/3) = 3 / (2/3) = 9.
в) Для прогрессии 1; 3/4; 9/16. a = 1, r = 3/4. S = 1 / (1 - 3/4) = 1 / (1/4) = 4.
Таким образом, сумма всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии: а) 3/2; б) 9; в) 4.
