Найдите сумму первых шести членов арефметической прогресии, если её третий член равен 54, а пятый 6

Для решения задачи нам нужно найти сумму первых шести членов арифметической прогрессии, зная, что третий член равен 54, а пятый — 6.

Обозначим первый член прогрессии как ( a_1 ), а разность прогрессии как ( d ). Формула для n-го члена арифметической прогрессии имеет вид:

[ a_n = a_1 + (n-1) \cdot d ]

По условию задачи:

1. Третий член прогрессии: ( a_3 = a_1 + 2d = 54 )
2. Пятый член прогрессии: ( a_5 = a_1 + 4d = 6 )

Теперь у нас есть система уравнений:

[ \begin{cases} a_1 + 2d = 54 \ a_1 + 4d = 6 \end{cases} ]

Вычтем из второго уравнения первое:

[ (a_1 + 4d) - (a_1 + 2d) = 6 - 54 ]

Упростим:

[ 2d = -48 ]

Отсюда найдем разность ( d ):

[ d = -24 ]

Теперь подставим значение ( d ) в первое уравнение, чтобы найти ( a_1 ):

[ a_1 + 2(-24) = 54 ]

[ a_1 - 48 = 54 ]

[ a_1 = 54 + 48 = 102 ]

Теперь, зная ( a_1 = 102 ) и ( d = -24 ), можем найти первые шесть членов прогрессии:

1. ( a_1 = 102 )
2. ( a_2 = a_1 + d = 102 - 24 = 78 )
3. ( a_3 = 54 ) (по условию)
4. ( a_4 = a_3 + d = 54 - 24 = 30 )
5. ( a_5 = 6 ) (по условию)
6. ( a_6 = a_5 + d = 6 - 24 = -18 )

Теперь найдем сумму первых шести членов. Формула для суммы первых ( n ) членов арифметической прогрессии:

[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) ]

Подставим наши значения для первых шести членов:

[ S_6 = \frac{6}{2} \cdot (a_1 + a_6) ]

[ S_6 = 3 \cdot (102 - 18) ]

[ S_6 = 3 \cdot 84 ]

[ S_6 = 252 ]

Таким образом, сумма первых шести членов арифметической прогрессии составляет 252.

Для нахождения суммы первых шести членов арифметической прогрессии, нам нужно сначала определить шаг прогрессии (d) и первый член прогрессии (a₁).

Из условия известно, что третий член (a₃) равен 54, а пятый член (a₅) равен 6. Мы можем использовать эти данные для нахождения шага прогрессии (d).

a₃ = a₁ + 2d = 54 a₅ = a₁ + 4d = 6

Выразим a₁ из первого уравнения: a₁ = 54 - 2d

Подставим это выражение во второе уравнение: 54 - 2d + 4d = 6 54 + 2d = 6 2d = -48 d = -24

Теперь найдем первый член прогрессии (a₁): a₁ = 54 - 2*(-24) = 54 + 48 = 102

Теперь у нас есть шаг прогрессии (d = -24) и первый член (a₁ = 102). Мы можем найти сумму первых шести членов прогрессии, используя формулу для суммы арифметической прогрессии: S₆ = 6/2 (2a₁ + (6-1)d) S₆ = 3 (2102 + 5(-24)) S₆ = 3 (204 - 120) S₆ = 3 84 S₆ = 252

Таким образом, сумма первых шести членов арифметической прогрессии равна 252.