Найдите сумму первых пятидесяти, ста,n членов последовательности,если Xn=3n-1

Чтобы найти сумму первых ( n ) членов последовательности, заданной формулой ( X_n = 3n - 1 ), мы будем использовать формулу для суммы арифметической прогрессии. Хотя данная последовательность не является стандартной арифметической прогрессией (где разность между последовательными членами постоянна), она всё равно может быть обработана с использованием подобного подхода.

1. Последовательность и её общие члены:

   Последовательность ( X_n = 3n - 1 ) означает, что каждый член последовательности выражается формулой ( X_n = 3n - 1 ). Для ( n = 1 ): ( X_1 = 3 \cdot 1 - 1 = 2 ), для ( n = 2 ): ( X_2 = 3 \cdot 2 - 1 = 5 ), и так далее.

2. Формула суммы первых ( n ) членов последовательности:

   Сумма первых ( n ) членов последовательности ( S_n ) может быть найдена с использованием следующей формулы: [ Sn = \sum{k=1}^{n} (3k - 1) ]

3. Разложение суммы:

   Разложим сумму: [ Sn = \sum{k=1}^{n} (3k - 1) = \sum{k=1}^{n} 3k - \sum{k=1}^{n} 1 ]

4. Вычисление каждой части суммы:

   [ \sum{k=1}^{n} 3k = 3 \sum{k=1}^{n} k = 3 \cdot \frac{n(n+1)}{2} = \frac{3n(n+1)}{2} ] и [ \sum_{k=1}^{n} 1 = n ]

5. Объединение частей:

   Теперь объединяем две части: [ S_n = \frac{3n(n+1)}{2} - n ]

   Приведём к общему знаменателю: [ S_n = \frac{3n(n+1)}{2} - \frac{2n}{2} = \frac{3n^2 + 3n - 2n}{2} = \frac{3n^2 + n}{2} = \frac{n(3n + 1)}{2} ]

Теперь, используя полученную формулу, найдём сумму первых 50, 100 и ( n ) членов последовательности.

1. Сумма первых 50 членов:

   [ S_{50} = \frac{50(3 \cdot 50 + 1)}{2} = \frac{50 \cdot 151}{2} = 25 \cdot 151 = 3775 ]

2. Сумма первых 100 членов:

   [ S_{100} = \frac{100(3 \cdot 100 + 1)}{2} = \frac{100 \cdot 301}{2} = 50 \cdot 301 = 15050 ]

3. Сумма первых ( n ) членов:

   [ S_n = \frac{n(3n + 1)}{2} ]

Таким образом, сумма первых 50 членов последовательности равна 3775, сумма первых 100 членов равна 15050, а общая формула для суммы первых ( n ) членов последовательности ( X_n = 3n - 1 ) равна ( S_n = \frac{n(3n + 1)}{2} ).

Для нахождения суммы первых n членов арифметической последовательности можно воспользоваться формулой для суммы первых n членов:

Sn = n * (a1 + an) / 2,

где Sn - сумма первых n членов, a1 - первый член последовательности, an - n-ый член последовательности.

Для данной последовательности Xn=3n-1 первый член a1 = X1 = 3*1 - 1 = 2, а n-ый член an = Xn = 3n - 1.

Теперь найдем сумму первых 50 членов:

S50 = 50 (2 + 350 - 1) / 2 = 50 (2 + 149) / 2 = 50 151 / 2 = 50 * 75.5 = 3775.

Аналогично для суммы первых 100 членов:

S100 = 100 (2 + 3100 - 1) / 2 = 100 (2 + 299) / 2 = 100 301 / 2 = 100 * 150.5 = 15050.

Таким образом, сумма первых 50 членов последовательности равна 3775, а сумма первых 100 членов равна 15050.