Найдите сумму пяти первых членов геометрической прогрессии (bn), в которой b1=2√3 q=√3

Чтобы найти сумму первых пяти членов геометрической прогрессии, нам нужно воспользоваться формулой суммы первых ( n ) членов геометрической прогрессии:

[ S_n = b_1 \frac{q^n - 1}{q - 1} ]

где:

• ( S_n ) — сумма первых ( n ) членов прогрессии,
• ( b_1 ) — первый член прогрессии,
• ( q ) — знаменатель прогрессии,
• ( n ) — количество членов, сумму которых нужно найти.

В данном случае первый член ( b_1 = 2\sqrt{3} ), знаменатель ( q = \sqrt{3} ), и нам нужно найти сумму первых пяти членов (( n = 5 )).

Подставим значения в формулу:

[ S_5 = 2\sqrt{3} \frac{(\sqrt{3})^5 - 1}{\sqrt{3} - 1} ]

Сначала вычислим ( (\sqrt{3})^5 ):

[ (\sqrt{3})^5 = (\sqrt{3})^2 \times (\sqrt{3})^3 = 3 \times 3\sqrt{3} = 9\sqrt{3} ]

Теперь подставим это значение в формулу:

[ S_5 = 2\sqrt{3} \frac{9\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} - 1} ]

Рассчитаем числитель:

[ 9\sqrt{3} - 1 ]

Теперь упростим знаменатель с помощью умножения на сопряженное:

[ \sqrt{3} - 1 = (\sqrt{3} - 1) \times \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{(\sqrt{3})^2 - 1^2}{\sqrt{3} + 1} = \frac{3 - 1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{2}{\sqrt{3} + 1} ]

Теперь подставим полученные значения обратно в формулу для суммы:

[ S_5 = 2\sqrt{3} \times \frac{9\sqrt{3} - 1}{\frac{2}{\sqrt{3} + 1}} = 2\sqrt{3} \times \frac{9\sqrt{3} - 1}{2} \times (\sqrt{3} + 1) ]

Сократим на 2:

[ S_5 = \sqrt{3} \times (9\sqrt{3} - 1) \times (\sqrt{3} + 1) ]

Теперь произведем оставшиеся вычисления:

1. ( 9\sqrt{3} \times \sqrt{3} = 27 )
2. (-1 \times \sqrt{3} = -\sqrt{3})

Объединим:

[ S_5 = (27 - \sqrt{3}) \times (\sqrt{3} + 1) ]

Раскроем скобки:

[ S_5 = 27\sqrt{3} + 27 - \sqrt{3} \times \sqrt{3} - \sqrt{3} = 27\sqrt{3} + 27 - 3 - \sqrt{3} ]

Соберем подобные члены:

[ S_5 = (27\sqrt{3} - \sqrt{3}) + (27 - 3) = 26\sqrt{3} + 24 ]

Таким образом, сумма первых пяти членов данной геометрической прогрессии равна ( 26\sqrt{3} + 24 ).

Для нахождения суммы пяти первых членов геометрической прогрессии с заданным первым членом b1=2√3 и знаменателем q=√3, нужно воспользоваться формулой для суммы первых n членов геометрической прогрессии:

Sn = b1 * (1 - q^n) / (1 - q)

Подставляя значения b1=2√3, q=√3 и n=5, получаем:

Sn = 2√3 * (1 - (√3)^5) / (1 - √3)

Вычисляя это выражение, получим значение суммы пяти первых членов геометрической прогрессии.