Найдите сопряжённое число комплексному числу Z=4+5i

Сопряженным числом комплексного числа Z=4+5i является число, которое получается заменой мнимой части (i) на ее противоположную (-i). То есть сопряженное число будет Z*=4-5i.

Сопряжённое число комплексному числу Z=4+5i равно Z*=4-5i.

Чтобы найти сопряжённое число для комплексного числа ( Z = 4 + 5i ), нужно изменить знак у мнимой части числа. Комплексное число состоит из действительной части и мнимой части. В данном случае, действительная часть равна 4, а мнимая часть равна 5.

Комплексное число записывается в виде ( a + bi ), где ( a ) — действительная часть, а ( bi ) — мнимая часть. Сопряжённое комплексное число обозначается как ( \overline{Z} ) и записывается в виде ( a - bi ).

Для числа ( Z = 4 + 5i ):

• Действительная часть: 4
• Мнимая часть: 5

Сопряжённое число будет: [ \overline{Z} = 4 - 5i ]

Сопряжённые числа имеют важные свойства в математике, особенно в комплексном анализе и при работе с комплексными числами в алгебре. Например, при умножении комплексного числа на его сопряжённое, получается действительное число: [ Z \cdot \overline{Z} = (4 + 5i) \cdot (4 - 5i) ]

Решим это произведение: [ (4 + 5i)(4 - 5i) = 4^2 - (5i)^2 = 16 - (25)(-1) = 16 + 25 = 41 ]

Таким образом, произведение комплексного числа и его сопряжённого всегда будет действительным числом, равным сумме квадратов действительной и мнимой частей. В нашем случае это ( 41 ).

Итак, сопряжённое число для ( Z = 4 + 5i ) равно ( \overline{Z} = 4 - 5i ).