Найдите sin α и ctg α, если известно , что tg α = 3 и α не лежит в III четверти

Для нахождения значений ( \sin \alpha ) и ( \cot \alpha ), зная, что ( \tan \alpha = 3 ) и ( \alpha ) не лежит в III четверти, можно воспользоваться тригонометрическими соотношениями и основными свойствами углов.

1. Определение тангенса: Мы знаем, что [ \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = 3. ] Это можно записать как [ \sin \alpha = 3 \cos \alpha. ]

2. Использование основного тригонометрического тождества: Известно, что для любого угла выполняется тождество [ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1. ] Подставим ( \sin \alpha = 3 \cos \alpha ) в это тождество: [ (3 \cos \alpha)^2 + \cos^2 \alpha = 1. ] Это упростится до: [ 9 \cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1, ] или [ 10 \cos^2 \alpha = 1. ] Следовательно, [ \cos^2 \alpha = \frac{1}{10}. ] Отсюда: [ \cos \alpha = \pm \frac{1}{\sqrt{10}}. ]

   Поскольку ( \alpha ) не лежит в III четверти, где косинус отрицателен, мы берем положительное значение: [ \cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{10}}. ]

3. Нахождение синуса: Теперь можем найти ( \sin \alpha ): [ \sin \alpha = 3 \cos \alpha = 3 \cdot \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}}. ]

4. Нахождение котангенса: Теперь, зная ( \tan \alpha = 3 ), мы можем найти ( \cot \alpha ): [ \cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} = \frac{1}{3}. ]

Итак, подводя итог, мы нашли: [ \sin \alpha = \frac{3}{\sqrt{10}}, \quad \cot \alpha = \frac{1}{3}. ]

Давайте разберем задачу шаг за шагом.

Дано:

1. ( \tan \alpha = 3 )
2. ( \alpha ) не лежит в III четверти.

Нужно найти:

1. ( \sin \alpha )
2. ( \cot \alpha )

Анализ условий

1. Тангенс угла ( \tan \alpha ) равен 3. Это означает, что отношение противолежащего катета к прилежащему катету равно 3: ( \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = 3 ).

   • Пусть прилежащий катет равен ( x = 1 ), тогда противолежащий катет равен ( y = 3 ).

2. Угол ( \alpha ) не лежит в III четверти, где тангенс также положителен. Следовательно, ( \alpha ) находится либо в I четверти, где все тригонометрические функции положительны, либо в IV четверти, где тангенс положителен, а синус отрицателен.

Решение

Для нахождения ( \sin \alpha ) и ( \cot \alpha ), нужно сначала найти гипотенузу ( r ), используя теорему Пифагора:

[ r = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}. ]

Теперь можем выразить все тригонометрические функции:

1. ( \sin \alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{y}{r} = \frac{3}{\sqrt{10}} ).

2. ( \cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{x}{y} = \frac{1}{3} ).

Учитываем четверть

Условие задачи гласит, что угол ( \alpha ) не лежит в III четверти. Так как тангенс положителен (( \tan \alpha = 3 > 0 )), это возможно только в I четверти (( \sin \alpha > 0 )) или IV четверти (( \sin \alpha < 0 )).

Если ( \alpha ) в I четверти:

• Все тригонометрические функции положительны.
• ( \sin \alpha = \frac{3}{\sqrt{10}} ).

Если ( \alpha ) в IV четверти:

• Синус отрицателен, а тангенс положителен.
• ( \sin \alpha = -\frac{3}{\sqrt{10}} ).

Ответ

1. Если ( \alpha ) в I четверти: ( \sin \alpha = \frac{3}{\sqrt{10}}, \; \cot \alpha = \frac{1}{3} ).
2. Если ( \alpha ) в IV четверти: ( \sin \alpha = -\frac{3}{\sqrt{10}}, \; \cot \alpha = \frac{1}{3} ).