Найдите промежутки возрастания и убывания и экстремума функции: f(x)=x^3-x^2-x

Для того чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции ( f(x) = x^3 - x^2 - x ), а также её экстремумы, следуем стандартному алгоритму анализа функции:

1. Найдем первую производную ( f'(x) )

Первая производная функции используется, чтобы определить точки, в которых функция может менять характер поведения (возрастание/убывание) и найти экстремумы.

[ f(x) = x^3 - x^2 - x ] Продифференцируем функцию: [ f'(x) = 3x^2 - 2x - 1 ]

2. Найдем критические точки (( f'(x) = 0 ))

Для этого решаем уравнение ( f'(x) = 0 ): [ 3x^2 - 2x - 1 = 0 ]

Это квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью дискриминанта: [ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16 ]

Корни уравнения: [ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-2) \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{2 \pm 4}{6} ]

Получаем два корня: [ x_1 = \frac{2 - 4}{6} = -\frac{1}{3}, \quad x_2 = \frac{2 + 4}{6} = 1 ]

Критические точки: ( x = -\frac{1}{3} ) и ( x = 1 ).

3. Определим знаки производной ( f'(x) ) на промежутках

Критические точки разбивают числовую ось на три промежутка: ( (-\infty, -\frac{1}{3}) ), ( (-\frac{1}{3}, 1) ) и ( (1, +\infty) ). Определим знак производной на каждом из этих промежутков, подставляя тестовые точки в ( f'(x) = 3x^2 - 2x - 1 ).

• На промежутке ( (-\infty, -\frac{1}{3}) ): Выберем точку ( x = -1 ). Подставим в ( f'(x) ): [ f'(-1) = 3(-1)^2 - 2(-1) - 1 = 3 + 2 - 1 = 4 > 0 ] Значит, ( f'(x) > 0 ), функция возрастает на этом промежутке.

• На промежутке ( (-\frac{1}{3}, 1) ): Выберем точку ( x = 0 ). Подставим в ( f'(x) ): [ f'(0) = 3(0)^2 - 2(0) - 1 = -1 < 0 ] Значит, ( f'(x) < 0 ), функция убывает на этом промежутке.

• На промежутке ( (1, +\infty) ): Выберем точку ( x = 2 ). Подставим в ( f'(x) ): [ f'(2) = 3(2)^2 - 2(2) - 1 = 12 - 4 - 1 = 7 > 0 ] Значит, ( f'(x) > 0 ), функция возрастает на этом промежутке.

4. Найдем точки экстремума

Функция имеет экстремумы в критических точках, где производная меняет знак.

• В точке ( x = -\frac{1}{3} ): ( f'(x) ) меняется с «+» на «−», значит, это точка максимума.
• В точке ( x = 1 ): ( f'(x) ) меняется с «−» на «+», значит, это точка минимума.

5. Найдем значения функции в точках экстремума

Подставим ( x = -\frac{1}{3} ) и ( x = 1 ) в исходную функцию ( f(x) = x^3 - x^2 - x ):

• Для ( x = -\frac{1}{3} ): [ f\left(-\frac{1}{3}\right) = \left(-\frac{1}{3}\right)^3 - \left(-\frac{1}{3}\right)^2 - \left(-\frac{1}{3}\right) ] [ f\left(-\frac{1}{3}\right) = -\frac{1}{27} - \frac{1}{9} + \frac{1}{3} = -\frac{1}{27} - \frac{3}{27} + \frac{9}{27} = \frac{5}{27} ]

• Для ( x = 1 ): [ f(1) = (1)^3 - (1)^2 - 1 = 1 - 1 - 1 = -1 ]

Таким образом:

• Точка максимума: ( x = -\frac{1}{3} ), ( f\left(-\frac{1}{3}\right) = \frac{5}{27} )
• Точка минимума: ( x = 1 ), ( f(1) = -1 )

Ответ

1. Промежутки возрастания: ( (-\infty, -\frac{1}{3}) \cup (1, +\infty) )
2. Промежутки убывания: ( (-\frac{1}{3}, 1) )
3. Экстремумы:
   • Точка максимума: ( x = -\frac{1}{3} ), ( f\left(-\frac{1}{3}\right) = \frac{5}{27} )
   • Точка минимума: ( x = 1 ), ( f(1) = -1 )

Чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции ( f(x) = x^3 - x^2 - x ), нужно сначала найти ее производную:

[ f'(x) = 3x^2 - 2x - 1. ]

Теперь находим критические точки, приравняв производную к нулю:

[ 3x^2 - 2x - 1 = 0. ]

Решаем это уравнение с помощью дискриминанта:

[ D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16. ]

Корни уравнения:

[ x_1 = \frac{2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{2 + 4}{6} = 1, ] [ x_2 = \frac{2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{2 - 4}{6} = -\frac{1}{3}. ]

Теперь исследуем знак производной на промежутках ( (-\infty, -\frac{1}{3}) ), ( (-\frac{1}{3}, 1) ) и ( (1, +\infty) ):

1. Для ( x < -\frac{1}{3} ) (например, ( x = -1 )): ( f'(-1) = 3(-1)^2 - 2(-1) - 1 = 3 + 2 - 1 = 4 > 0 ) (возрастает).
2. Для ( -\frac{1}{3} < x < 1 ) (например, ( x = 0 )): ( f'(0) = 3(0)^2 - 2(0) - 1 = -1 < 0 ) (убывает).
3. Для ( x > 1 ) (например, ( x = 2 )): ( f'(2) = 3(2)^2 - 2(2) - 1 = 12 - 4 - 1 = 7 > 0 ) (возрастает).

Таким образом, функция:

• Возрастает на интервалах ( (-\infty, -\frac{1}{3}) ) и ( (1, +\infty) ).
• Убывает на интервале ( (-\frac{1}{3}, 1) ).

Теперь находим экстремумы:

• В точке ( x = -\frac{1}{3} ): минимум.
• В точке ( x = 1 ): максимум.

Для анализа функции ( f(x) = x^3 - x^2 - x ) найдем ее производную и исследуем знаки производной для определения промежутков возрастания и убывания, а также для нахождения экстремумов.

1. Найдём производную функции: [ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3) - \frac{d}{dx}(x^2) - \frac{d}{dx}(x) = 3x^2 - 2x - 1 ]

2. Решим уравнение ( f'(x) = 0 ) для нахождения критических точек: [ 3x^2 - 2x - 1 = 0 ] Используем дискриминант для решения квадратного уравнения: [ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16 ] Теперь находим корни: [ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm 4}{6} ] Таким образом, получаем два корня: [ x_1 = \frac{6}{6} = 1, \quad x_2 = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3} ]

3. Определим знаки производной на промежутках, разделённых критическими точками ( x_1 = 1 ) и ( x_2 = -\frac{1}{3} ). Рассмотрим интервалы: ( (-\infty, -\frac{1}{3}) ), ( (-\frac{1}{3}, 1) ), ( (1, +\infty) ).

   • Для ( x < -\frac{1}{3} ) (например, ( x = -1 )): [ f'(-1) = 3(-1)^2 - 2(-1) - 1 = 3 + 2 - 1 = 4 > 0 \quad (\text{возрастает}) ]

   • Для ( -\frac{1}{3} < x < 1 ) (например, ( x = 0 )): [ f'(0) = 3(0)^2 - 2(0) - 1 = -1 < 0 \quad (\text{убывает}) ]

   • Для ( x > 1 ) (например, ( x = 2 )): [ f'(2) = 3(2)^2 - 2(2) - 1 = 12 - 4 - 1 = 7 > 0 \quad (\text{возрастает}) ]

4. Сводим результаты:

   • Функция возрастает на интервалах ( (-\infty, -\frac{1}{3}) ) и ( (1, +\infty) ).
   • Функция убывает на интервале ( (-\frac{1}{3}, 1) ).

5. Определим экстремумы:

   • В точке ( x = -\frac{1}{3} ) функция меняет знак производной с положительного на отрицательное, следовательно, это максимум.
   • В точке ( x = 1 ) функция меняет знак производной с отрицательного на положительное, это минимум.

6. Найдем значения функции в экстремумах:

   • ( f(-\frac{1}{3}) = \left(-\frac{1}{3}\right)^3 - \left(-\frac{1}{3}\right)^2 - \left(-\frac{1}{3}\right) = -\frac{1}{27} - \frac{1}{9} + \frac{1}{3} = -\frac{1}{27} - \frac{3}{27} + \frac{9}{27} = \frac{5}{27} ).
   • ( f(1) = 1^3 - 1^2 - 1 = 1 - 1 - 1 = -1 ).

Таким образом, мы имеем:

• Промежутки возрастания: ( (-\infty, -\frac{1}{3}) ) и ( (1, +\infty) ).
• Промежуток убывания: ( (-\frac{1}{3}, 1) ).
• Максимум в точке ( \left(-\frac{1}{3}, \frac{5}{27}\right) ).
• Минимум в точке ( (1, -1) ).